Demostrar que $\lim_{y\to\infty}\frac{y}{t-1}e^{y(t-1)} = 0$.

Question

Para la distribución de $g(y)=ye^{-y}$ $y\geq 0$ $0$ lo contrario, me han demostrado, a través de la integración por partes, que en el momento de generación de la función es:

$M_Y(t)=\int_0^\infty e^{ty}ye^{-y}dy=\left[\frac{y}{t-1}e^{y(t-1)}\right]_0 ^\infty-\int_0^\infty \frac{1}{t-1}e^{y(t-1)}=\left[\frac{y}{t-1}e^{y(t-1)}\right]_0 ^\infty +\frac{1}{(t-1)^2}$ $t<1$.

Sin embargo, debo mostrar que $\lim_{y\to\infty}\frac{y}{t-1}e^{y(t-1)} = 0$ en orden a la conclusión de que el $M_Y(t)=\frac{1}{(t-1)^2}$. Estoy teniendo problemas para evaluar el límite y no se puede aplicar la regla del producto para conocer los límites, ya que las dos funciones constituyentes de los dos no tiene un límite finito.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

En ESTA RESPUESTA, me mostró utilizando el límite de la definición de la función exponencial y la Desigualdad de Bernoulli que

$$e^x\ge \left(1+\frac xn\right)^n$$

para $x>-n$. Entonces, para $x>0$, es fácil ver que

$$e^x\ge \frac14x^2 \tag1$$

El uso de $(1)$, podemos ver que para $t<1$ $y>0$

$$\begin{align} \left|\frac{y}{t-1}e^{(t-1)y}\right|&=\frac{y}{|t-1|e^{|t-1|y}}\\\\ &\le \frac{y}{|t-1|\frac14 (t-1)^2y^2}\\\\ &=\frac4{|t-1|^3y} \end{align}$$

dónde aplicar el teorema del encaje de los rendimientos de la codiciada límite

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{y\to \infty} \frac{y}{t-1}e^{(t-1)y}=0}$$

Answer 2

Cambio de variables para $t-1=-p, p>0$. Parametrizar $y=x/p$. Como $x$ va al infinito, $y$ va al infinito, y viceversa, por lo que la sustitución de este nuevo valor de $y$ en la expresión original y el envío de $x$ hasta el infinito conserva el límite original. Es de conocimiento común que $xe^{-x}$ va a cero, como se $x$ va al infinito, y multiplicando por $-p^{-2}$ (recuperación de la fórmula original, reescrito en términos de x y p) no cambia el límite.