Un límite de la p-ésima potencia de una función integral

Question

¿Qué es $$\lim_{p\to0}\left(\int_0^1\left(f(x)^p\right)dx\right)^{1/p}$$

?

Donde f es continua

Era una pregunta de examen y no sé cómo empezar con ella, puede usted ayudar? (No es $f(x^p) $ pero $\left(f(x)^p\right)$, por lo que la p-ésima potencia de a $f(x)$ )

Answer 1

Esto es lo que he intentado. No estoy seguro de que aunque. $$A:=\lim_{p\to0}\left(\int_0^1\left(f(x)^p\right)dx\right)^{1/p}$$ $$\ln A = \lim_{p\to0} \dfrac{\ln \left(\int_0^1f(x)^pdx\right)}{p}$$ $$\ln A = \lim_{p\to0} \dfrac{\int_0^1f(x)^p \ln (f(x))dx}{\int_0^1f(x)^pdx}=\frac{\int _0^1\ln f(x) dx}{1}$$ $$A = e^{\int _0^1\ln f(x) dx}$$

Estoy viendo que si esto fuera un (riemann) suma en lugar de una integración, tendríamos (desde exponencial de una suma es un producto)

\begin{align*} A &= e^{\sum_{r=0}^n \ln f(\frac{r}{n}) \frac1{n}}\\ &= \prod_{r=0}^n e^{\ln f(\frac{r}{n}) \frac1{n}}\\ &= \left( \prod_{r=0}^n f\left(\frac{r}{n}\right)\right)^{\frac{1}{n}}\\ \end{align*}

Este parece ser algún tipo de una media geométrica. Estoy en lo cierto? ¿Esto tiene algunas implicaciones?