Integrar la función de probabilidad

Question

Sabemos que para una función de densidad de $f(x\mid\theta)$ hemos $$\int^{\infty}_{-\infty}f(x\mid\theta)\, dx=1$$ ¿También tenemos la posibilidad de función $L(\theta\mid x)$ que $$\int^{\infty}_{-\infty}L(\theta\mid x)\, d\theta=1?$$ Supongo que sí, puesto que la $L(\theta\mid x)$ es una especie de "posibilidad" de que el parámetro que bajo diferentes datos.

Gracias~

Answer 1

Una visión sesgada de monedas de la gira "jefes" $2/3$ del tiempo; una moneda no trucada $1/2.$

Dada una "cabeza", la función de probabilidad es \begin{align} & L(\text{fair}) = 1/2, \\ & L(\text{biased}) = 2/3. \end{align} Hacer éstos se suman a $1$? No se si asignamos peso $1$ a cada una de las posibles moneda.

Y la asignación de estos pesos no parece tener sentido, salvo cuando son las probabilidades previas. Supongamos que tenemos las probabilidades previas $\Pr(\text{fair}) = 0.9 = 1 - \Pr(\text{biased}) = 1 - 0.1\,.$, Entonces la integración de nuestro probabilidad de los rendimientos de $$ (0.9)(2/3) + (0.1)(1/2) = 0.65 $$ y eso no es $1,$, pero más bien es la probabilidad marginal de los datos observados, es decir, la probabilidad marginal de los "jefes".

Answer 2

Tome la distribución de Poisson ejemplo, con dos datos, decir $x_1=1,\,x_2=2$.

Tenemos $$f(x\mid \mu)=\frac{\mu^{x}e^{-\mu}}{x!}$$ so $$L(\mu\mid x_1, x_2)=\prod_{i=1}^2\frac{\mu^{x_i}e^{-\mu}}{x_i!}=\frac{\mu^3e^{-2\mu}}{2}$$ Then $$\int_{-\infty}^\infty L(\mu\mid x_1,x_2)\,d\mu=\frac12\int_0^\infty\mu^3e^{-2\mu}\,d\mu=\frac12\cdot\frac38\neq1.$$

Answer 3

El modo significativo a su vez una probabilidad en un probabilidad es integrarla en contra de una antes de la distribución de probabilidad para $\theta$. Buenas opciones anteriores son más de arte que de ciencia. Pero en particular, la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ no es admisible para este propósito, porque no es una distribución de probabilidad. Sin embargo, si usted tiene $\theta$ confinado a $[a,b]$, entonces usted puede utilizar el uniforme de distribución en $[a,b]$ como una "ingenua de antes". Usted podría hacer lo mismo si $\theta$ se limita a un conjunto finito.

Al hacer esto, usted todavía no consigue $1$, sin embargo, obtener la probabilidad de observar su particular conjunto de datos bajo su distribución previa para $\theta$. Por ejemplo, considere una de Bernoulli($p$) punto de datos $x_1=1$ y el ingenuo antes de $p$. La función de probabilidad es $L(p \mid \{ 1 \})=p$, y la integral de esta contra el ingenuo antes de es $\int_0^1 p dp = 1/2$.