La imagen de un mapa de $H^2 \setminus \Delta \to \mathbf{R}^4$ donde $H$ es la mitad superior del plano-y $\Delta$ es la diagonal

Question

Deje $H = \{z \in \mathbf{C}: \operatorname{Im} z > 0\}$ ser la mitad superior del plano -, y deje $D = H^2 \setminus \Delta$ donde $\Delta = \{(u,u) \in H^2\}$ es de la diagonal. Definir $\varphi: D \to \mathbf{R}^4$ $$(u,v) \mapsto (2\operatorname{Arg}(u), 2\operatorname{Arg}(u-1), \operatorname{Arg}\left(\frac{u-v}{u-\overline{v}}\right), 2\operatorname{Arg}(v-1)).$$

¿Cuál es la imagen de $\varphi$?

Escribir $(\varphi_{u0},\varphi_{u1}, \varphi_{vu}, \varphi_{v1})$ para las coordenadas en la imagen. Claramente $0 < \varphi_{u0} < \varphi_{u1} < 2\pi$ porque $0 < \operatorname{Arg}(u) < \pi$, pero ¿y el resto?

Información adicional:

Este es calcular los pesos en el Kontsevich de la cuantización de la fórmula. Para $u \neq v$, $\operatorname{Arg}\left(\frac{u-v}{u-\overline{v}}\right)$ es, de hecho, $\phi(v,u)$ en la notación de la Wikipedia, es decir, el ángulo en el $v$ formado por dos geodesics (w.r.t. la métrica hiperbólica) por $v$, es decir, una línea vertical y un arco circular que pasa también a través de $u$ (el ángulo se mide en sentido antihorario desde la vertical). Los componentes de $\varphi$ por encima de se $\phi(u,0), \phi(u,1), \phi(v,u)$$\phi(v,1)$. Tal vez te sea de ayuda.

Answer 1

Se ve como el bono de la tarea de matemáticas o de algún tipo de rompecabezas.

Escribir los componentes de $\phi = (p,q,r,s)$. Es bastante fácil ver que para cada una de las $u$ no corresponde exactamente a una $(p,q)$ y vice-versa. Esto es debido a que $p$ es esencialmente el argumento, como se ve desde el origen y $q$ es el argumento, como se ve desde $1$, por lo que la localización de $u$ a partir de los dos ángulos es una `triangulación" problema.

Creo que, para cualquier fija $u$ $v$ rangos en la mitad superior del plano -, $s$ rangos de $(0,2\pi)$ $r$ rangos en $(-\pi,0)$ o $(0,\pi)$ dependiendo de ciertas relaciones entre el$u$$s$. Yo ahora dar una prueba de dibujo. A tal fin, solucionar los $s \in (0,2\pi)$.

Se puede comprobar que $r = Arg[(u-v)(\bar{u}-v)] = Arg \, f(v)$. El $f(v)$ es dentro de un polinomio cuadrático en $v$ y su único raíces están en $v=u,\bar{u}$ que no son de nuestro dominio para la Arg está bien definido. Además, $f(v) = |u|^2 - 2 (\Re u)v + v^2 \geq 0$ siempre $v$ es real (en retrospectiva, esto quizás es irrelevante).

Para el siguiente bit es más fácil pensar en términos de$h = 1-u$$w = v-1$. Escrito $w = te^{i\theta} = tz$ (obviamente $s = 2\theta$ obligando a que el valor de $\theta$ pero dejando $t$ gratis) y dejando $t$ $(0,\infty)$ llegamos a $Arg \, f(v) = Arg \, [(\Im h)^2 + (\Re h + zt)^2] = Arg \, J(t)$. Entonces, si $h$ $z$ están en el mismo cuadrante, $Arg \, J(t)$ rangos de $(0,\pi)$, mientras que de lo contrario, se extiende en el $(-\pi,0)$. Creo que.

Edit: en realidad no parece ser tal vez cuatro casos, dependiendo de los dos cuadrantes posibles para$h$$z$.