Cómo puedo mostrar esta hermosa desigualdad :$\frac{x^n}{x^m+y^m}+\frac{y^n}{y^m+z^m}+\frac{z^n}{z^m+x^m}\geq \frac{3} {2}(\frac{1}{\sqrt{3}})^{n-m}$?

Question

deje $m,n$ ser enteros, muestran que si $ n>m\geq 0 $ :

$$\frac{x^n}{x^m+y^m}+\frac{y^n}{y^m+z^m}+\frac{z^n}{z^m+x^m}\geq \frac{3} {2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n-m}$$

donde el real $x,y,z > 0 $ $xy + yz + zx = 1$

Gracias por su ayuda .

Answer 1

A pesar de los intentos en las otras respuestas y comentarios, y los dos `pruebas" dado allí, la desigualdad no se sostiene en general. Le damos dos pruebas de su fracaso:

Primera Prueba (la participación de grandes números): Conjunto de $x=3/7$, $y=4/7$, $z=37/49$. A continuación,$xy+yz+zx=1$. Para $m=7$, $n=8$ set$A=\frac{x^n}{x^m+y^m}+\frac{y^n}{y^m+z^m}+\frac{z^n}{z^m+x^m}$$B=\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}})^{n-m}$. Entonces \begin{equation} A^2-B^2=-\frac{5464419604082977128654242570410694589510448147711713}{929486260504473222256638487813651283882185173994428050}<0. \end{equation}

Segunda prueba (conceptual): Supongamos que $0<x<y<z$. Luego, con $n=m+1$, \begin{equation} \lim_{m\to\infty} (\frac{x^n}{x^m+y^m}+\frac{y^n}{y^m+z^m}+\frac{z^n}{z^m+x^m}) = \lim_{m\to\infty} (\frac{x}{1+(y/x)^m}+\frac{y}{1+(z/y)^m}+\frac{z}{1+(x/z)^m})=z \end{equation} Ahora establecer $x=\frac{1}{3}$, $y=\frac{2}{3}$, $z=\frac{7}{9}$. A continuación,$xy+yz+zx=1$, pero $z<\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{3}}$. Así que la declaró la desigualdad no se cumple para todos lo suficientemente grande $m$.

Comentario: La misma pregunta se hizo aquí en MathOverflow, y me dio una similar contraejemplo allí.

Answer 2

Este es un boceto con algunos detalles que no me quiero llenar, pero que van a retirar. Deje $n>m\geq 0$ fija y $$f(x,y,z) = \frac{x^n}{x^m+y^m}+\frac{y^n}{y^m+z^m}+\frac{z^n}{z^m+x^m}$$ vamos a tratar de encontrar el mínimo en $xz+zy+yx=1$ mediante el uso de multiplicadores de Lagrange. Vamos $$ g(x,y,z) = xz + zy+ yx$$ Siguiendo con la idea de que los multiplicadores, tratamos de resolver $$ \nabla f = \lambda \nabla g$$ Vemos la primera relación como $$ \frac{(n-m) x^{n-1}x^m+ n y^m x^{n-1}}{(x^m + y^m)^2}-m\frac{ x^{m-1} z^n }{(z^m + x^m)^2} = \lambda(z+y) $$ No es tan fácil de ver, pero ya que todas las 3 ecuaciones son el mismo, $x,y,z$ mezclado, significa que debemos tener $x=y=z= \frac{1}{\sqrt{3}}$ para las tres ecuaciones para celebrar con $$ \lambda = \frac{ n-m}{4} \left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) ^{n-m-2} $$ También, verás que este valor es mínimo, mediante la comprobación de la Arpillera(o por un ingenioso intuición), el uso de $g(x,y,z)=1$ ,$x,y,z,>0$ y $n >m$. Así $$f(x,y,z) \Big | _g \geq \min_{x,y,z} f(x,y,z) \Big | _g = f \left(\frac{1}{\sqrt{3}} , \frac{1}{\sqrt{3}} , \frac{1}{\sqrt{3}} \right)= \frac{3}{2} \left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{n-m} $$ Edit: Se me ocurrió que debo decir algo sobre el máximo de $f(x,y,z) \big| _g$, verás que se produce en el infinito ya que podemos tomar $ y = \epsilon \approx 0$ $$xz \approx 1 \implies x \approx \frac{1}{z}$$ Así que como $x \to \infty$ vemos que $$f(x,y,z) \Big |_g = \mathcal{O} (x^{n-m}) \to \infty $$

Answer 3

Por las condiciones, tenemos: $$y =\frac{1-xz}{x+z}\ge0\quad\longrightarrow \quad xz\le1, z \le 1/x$$ Ahora, sin pérdida de generalidad, supongamos $z\ge y\ge x$. Por tanto, tenemos que la expresión $f(x,y,z)$ en cuestión cumple: $$f(x,y,z) \ge \frac{3}{2} \frac{x^n}{z^m}\ge \frac{3}{2}x^{n-m}$$

Ahora queda demostrado que $x\ge 1/\sqrt{3}$. Esto es cierto ya que la mínima distancia desde el origen a la hyperboloid es exactamente $1$, por lo que: $$x^2+y^2+z^2 \ge 1 \quad\longrightarrow \quad 3x^2 \ge 1$$ Así completar la prueba.