Deje $X$ el número de componentes conectados en $G(n,p)$. Si fijamos $n$ y varían $p$ $E(X)$ una función decreciente de $p$? "Siento" que deben ser de la derecha, porque como $p$ aumenta, es probable que haya más aristas y que tiene una tendencia a reducir el número de componentes.
Pero, ¿es realmente cierto? Y si es así ¿cómo demostrarlo?
Sí, mediante el acoplamiento de la familia $(G(n,p))_{0\leqslant p\leqslant 1}$ para todos los fijos $n$.
Más explícitamente, para cada posible ventaja $e$, decidir que $e$ es un borde de $G(n,p)$ si y sólo si $U_{xy}\leqslant p$ donde $(U_{xy})_{xy}$ es un yo.yo.d. colección de variables aleatorias uniformes en $(0,1)$.
Entonces, para $p\leqslant q$, en cada extremo de $G(n,p)$ es un borde de $G(n,q)$, por lo que los respectivos números de $X_p$ $X_q$ de los componentes conectados de $G(n,p)$ $G(n,q)$ son tales que $X_p\geqslant X_q$ casi seguramente.
Por último, si $p\lt q$, $X_p\gt X_q$ con probabilidad positiva, por lo tanto la función de $p\mapsto E[X_p]$ es estrictamente decreciente.
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