Demostrando que existe una definición equivalente de $\lim_{x\to a}f(x)$

Question

Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes.

(a) $\lim_{x\to a}f(x)$ existe

(b) Dado $\epsilon \gt 0$, existe un $\delta \gt 0$ tal que si $0\lt |x-a| \lt \delta, 0\lt |y-a| \lt \delta$, entonces $|f(x)-f(y)|\lt \epsilon.$

(a) $\to$ (b) es fácil. Pero estoy teniendo problemas para demostrar $(b)\to (a)$, de hecho no estoy seguro si esta dirección es verdadera.

Mi pensamiento inicial fue que puedo probar esto por el contrapositivo. Para algún $\epsilon \gt 0$, supongamos que el límite no existe en $a$. Entonces existen algunas secuencias $x_n$, $y_n$ que tienden a $a$, pero nunca son $a$, sin embargo, $\lim f(x_n)\neq \lim f(y_n)$. Luego, dado que $\lim x_n=\lim y_n=a$, podemos elegir un valor lo suficientemente grande para $N$ tal que si $n\ge N$, entonces $|x_n-a|\lt \delta, |y_n-a|\lt \delta$. Entonces obtenemos $|f(x_n)-f(y_n)|\gt 0.

Sin embargo, me di cuenta de que no puedo demostrar que tales $x_n$ e $y_n$ existan en primer lugar. Desde la definición, la función $f$ no tiene un límite en $a$ si y solo si existe una secuencia $x_n$ con $x_n\neq a$ para todo $n\in \mathbb{N}$ tal que la secuencia $x_n$ converge a $a$ pero la secuencia $f(x_n)$ no converge en $\mathbb{R}$. Esto no significa que pueda encontrar dos secuencias con límites diferentes de los valores de la función.

¿Cómo puedo resolver este problema? Agradecería mucho cualquier ayuda.

Answer 1

Debemos probar que $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$ existe. Es suficiente probar que para cualquier par de sucesiones $\{x_n\}$ e $\{y_n\}$ que tiendan a $a$, las sucesiones $\{f(x_n)\}$ y $\{f(y_n)\}$ convergen al mismo límite.

Si $\{x_n\}$ e $\{y_n\}$ convergen a $a$, entonces para cualquier $\delta>0$ existen $N_x$ y $N_y$ tales que $|x_n-a|<\delta$ para cualquier $n>N_x$ y $|y_n-a|<\delta$ para cualquier $n>N_y$. Por (b) entonces, para cualquier $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|f(x_n)-f(y_n)|<\varepsilon$ si $|x_n-a|<\delta$ y $|y_n-a|<\delta$. Sea $n>\max(N_x,N_y)$ entonces $|f(x_n)-f(y_n)|<\varepsilon$. Es decir, los dos límites existen y son iguales.