Número de subconjuntos de tamaño 5 de un conjunto de 25 números.

Question

El conjunto es S={1,2,3,.....,25}. Tenemos que contar el número de subconjuntos de tamaño 5 tales que cada uno tiene al menos un número impar en él.

Método 1:

Count = (Total Subsets of size 5) - (Total subsets having all even numbers) $$ = \binom {25} {5} - \binom {12} {5} = 53130 - 792 = 52338$$

Método 2:

Considere los 5 subconjuntos de elementos como 5 cajas distintas, cada una de las cuales puede llenarse con un número.

La primera casilla se puede rellenar con cualquiera de los 13 números de impar. La 2ª por los 24 restantes. La 3ª por los 23 restantes. La 4ª por el 22 restante. La 5ª por el 21 restante. $$\text{Total} = 13 \times{24} \times{23} \times{22} \times{21}=3315312$$

¿Por qué recibo dos respuestas? ¿Qué método es defectuoso y cómo?

Answer 1

El primer método es correcto

El segundo método es falso porque estás contando varias soluciones varias veces.

Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 3, 4, 6 } se cuenta al menos dos veces:

• una primera vez cuando se considera poner 1 en la primera casilla
• una segunda vez cuando se considera poner 3 en la primera casilla

Answer 2

La segunda respuesta es incorrecta, y la primera es la correcta.

Como mencionó Adren, estás contando el mismo conjunto dos veces. Además, me gustaría mencionar el hecho de que estás contando los números asumiendo que están ordenados, pero como todos son un elemento del mismo conjunto, en realidad, no están ordenados. El método correcto sería el siguiente: $$\sum_{i=1}^{5}\binom{13}{i} \times \binom{12}{5-i}$$ Cuando se dividen los casos en los que hay $1,2,3,4,5$ Números Impares.