Si el conectado suma de un colector $M$ con sí mismo da la espalda a $M$, implica $M$ es una esfera?

Question

Deje $M$ ser un equipo compacto, conectado, orientado $n$-dimensiones del colector sin límite. Supongamos que $M\#M\cong M$. Implica que el $M \cong S^n$?

Lo siento si esto es una pregunta ingenua. Esta no es mi área, y tengo muy pocos ejemplos de dimensiones superiores colectores bajo mi cinturón, así que no sabría cómo construir un contra-ejemplo!

Answer 1

Esto es cierto. De manera más general, podemos demostrar que si $N\sharp M \cong N$ por una sola cerrado orientable colector $N$, $M$ es homeomórficos a una esfera.

En primer lugar, por la clasificación de las superficies compactas, esto es cierto cuando se $N$ $M$ son superficies, por lo que podemos suponer $n=\dim N \geq 3$.

Ahora, uno puede aplicar van Kampen del Teorema de aprender que $\pi_1(M\sharp N)\cong \pi_1(M)\ast \pi_1(N)$. Desde $N$ es compacto, $\pi_1(N)$ es finitely generado, por ejemplo, con un mínimo de generación de set compuesto de $r$ generadores. Deje $s$ ser el mínimo número de generadores de $\pi_1(M)$. A continuación, $r+s$ es el tamaño de la mínima generación del sistema de $\pi_1(M)\ast \pi_1(N) \cong \pi_1(N)$, lo $r+s = r$. Desde $r$ es finito, esto implica $s = 0$. Por lo tanto, $M$ es simplemente conectado.

El uso de Mayer-Veitoris, y el hecho de que $N$ es orientable (asunción) y $M$ es orientable (ya que es simplemente conectado), ahora se ve que $H_i(N)\cong H_i(M\sharp N) \cong H_i(M)\oplus H_i(N)$$0< i < n$. Desde la homología de grupos de $M\sharp N$ $M$ son finitely generado abelian grupos, podemos cancelar para encontrar ese $H_i(M) = 0$$0<i<n$.

Todo esto muestra que la $M$ se conecta simplemente a la homología de la esfera. El teorema de Hurewicz junto con Whitehead del teorema ahora implican $M$ es homotopy equivalente a una esfera. Finalmente, la conjetura de Poincaré, a continuación, implica que $M$ es homeomórficos a una esfera.