Una Pregunta sobre la "planitud es preservada por cambio de base"

Question

Deje $f:X\to Y$ ser una de morfismos, $\mathcal{F}$ $O_X$ módulo que es plana por $Y$, vamos a $g:Y'\to Y$ ser cualquiera de morfismos. Deje $X'=X\times_YY'$, vamos a $f':X'\to Y'$ la segunda proyección, y $\mathcal{F'}=p_1^*(\mathcal{F})$ .A continuación, $\mathcal{F'}$ es plano sobre a $Y'$. (Hartshorne p254 9.2)

Yo creo que vamos a mostrar: $\forall x'\in X'$, $p_1^*(\mathcal{F})_{x'}$ es plana por $O_{Y,f'(x')}$.

Y $p_1^*(\mathcal{F})_{x'}\cong{(p_1^{-1}\mathcal{F}})_{x'}\otimes_{(p_1^{-1}O_{X})_{x'}}O_{X',x'}\cong\mathcal{F_{p_1(x')}}\otimes_{O_{X,p_1(x)}}O_{X',x'}$ .

Tenemos $\mathcal{F}_{p_1(x')}$ es plano sobre a $O_{Y,f(p_1(x'))}$.

Es significativo para discutir la llanura de no qcoh poleas?

Por la versión de módulo, tenemos $\mathcal{F_{p_1(x')}}\otimes_{O_{Y,f(p_1(x))}}O_{Y',f'(x')}$ plana por $O_{Y',f'(x')}$

Es este el tallo deseado? (desde $A_p\otimes_{C_p}B_p\cong(A\otimes_C B)_p $ no espera.) Cómo hacer lo correcto?

Answer 1

Vamos $x^\prime\in X^\prime$, $x=p_1(x^\prime)$, $y^\prime=f^\prime(x^\prime)$, y $y=f(x)$. Deje $V\subseteq Y$ ser afín a abrir alrededor de $y$, $x\in U\subseteq f^{-1}(V)$ una afín a abrir alrededor de $x$, e $y^\prime\in V^\prime\subseteq g^{-1}(V)$ un afín a abrir alrededor de $y^\prime$. A continuación, $U^\prime=U\times_VV^\prime$ es un afín abierta en $X^\prime$ $x^\prime$ (es $p_1^{-1}(U)\cap (f^\prime)^{-1}(V^\prime)$). La restricción $\mathscr{F}$ $U$y, a continuación, tirando hacia atrás de a $U^\prime$ es lo mismo que tirar de $\mathscr{F}$ $X^\prime$ y la restricción de a $U^\prime$, y dado que los tallos puede ser calculado en cualquier vecindad de un punto, podemos suponer que todos los sistemas involucrados son afines: $X=\mathrm{Spec}(B),Y=\mathrm{Spec}(A),Y^\prime=\mathrm{Spec}(A^\prime),X^\prime=\mathrm{Spec}(B^\prime)$ donde $B^\prime=B\otimes_AA^\prime$. Si $\mathscr{F}$ es un cuasi-coherente gavilla en $X$, $\mathscr{F}$ está asociado a un $B$-módulo de $M$, e $p_1^*\mathscr{F}$ está asociado a

$M\otimes_BB^\prime=M\otimes_B(B\otimes_AA^\prime)=M\otimes_AA^\prime$,

y esto es $A^\prime$-plano de la si $M$ $A$- plana.