De los tres puntos en un círculo

Question

Si los tres puntos son seleccionados al azar en el límite de un círculo, ¿cuál es la probabilidad de que exista un diámetro del círculo que los tres puntos se encuentran en el mismo lado de él?

Yo tengo una solución, pero estoy muy curioso por ver cómo otros lo hacen (y si obtenemos la misma respuesta)!

Gracias.

Answer 1

Elegir los puntos en el círculo unidad en el plano complejo, con argumentos $\theta_1, \theta_2, \theta_3$. Si sucede que las diferencias $\theta_2 - \theta_1$ $\theta_3 - \theta_1$ entre $0$ $\pi$ modulo $2\pi$, luego de que los puntos están en el mismo círculo de la mitad. A partir de la independencia de las variables, la probabilidad de que esto ocurra es $\frac {1} {4}$. Ahora necesitamos considerar simétrica de los casos - el de arriba es el caso de que el primer punto es "el derecho" de los dos puntos siguientes, pero de cualquier punto podría ser "a la derecha" de los otros dos puntos. Los tres casos son simétricos y discontinuo, por lo que el total de la probabilidad es $\frac 3 4$.

El caso general de los $n$ puntos pueden ser resueltos de la misma manera y los resultados en $\frac n {2^{n-1}}$.

Answer 2

He aquí mi respuesta:

Supongamos que los puntos de $A$ $B$ se colocan en primer lugar. La medida de $\theta$ de los menores de arco que ha $A$ $B$ como extremos se distribuye uniformemente en el intervalo de $(0,\pi)$. Dado un valor de $\theta$, sin embargo, sabemos que la probabilidad de que el punto de $C$ será colocado de manera que los tres puntos están en el mismo lado de un diámetro es igual a $1-\frac{\theta}{2\pi}$. Promedio sobre el intervalo $(0,\pi)$ da $$ \frac{1}{\pi} \int_0^\pi (1-\frac{\theta}{2\pi})d\theta=\frac{1}{\pi}\left[\theta-\frac{1}{4\pi}\theta^2\right]_0^\pi=\frac{3}{4} $$