Una pregunta sobre finitely generado abelian grupos

Question

Deje $M$ ser la torsión de los subgrupos de un finitely generado grupo abelian $A$$M = 0$. Entonces no es difícil probar que existe un $r \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ tal que $A \cong Z^r$ . Además, esta $r$ es único. Ahora, supongamos que estamos trabajando con un finitely generado grupo abelian $B$, de los cuales la torsión de los subgrupos no neccesarily necesitan ser justas $0$. ¿Cómo podemos demostrar que $$B \cong N \times \mathbb{Z}^r$$

Donde $N$ es la torsión de los subgrupos de $B$. Seguramente la idea debe ser la de considerar el grupo $B/N$. A continuación, $B/N \cong \mathbb{Z}^r$ algunos $r \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$. Sin embargo, esto no implica directamente que $B \cong N \times \mathbb{Z}^r$ o no? ¿Cómo puedo empezar a resolver esto?

Answer 1

Elegir los representantes de la $e_1,\cdots,e_r$ de un conjunto de generadores de $B/N\cong\Bbb Z^r$, y demostrar que

$$B=N\times\langle e_1,\cdots,e_r\rangle$$

es un producto directo interno de con $\langle e_1,\cdots,e_r\rangle\cong B/N\cong\Bbb Z^r$.

(Tenga en cuenta que el subgrupo $N$ está determinada únicamente por $B$, pero $\langle e_1,\cdots,e_r\rangle$ no lo sea).