¿Por qué los promedios de $ \sin (p+ \cos p )$ se acercan a un límite positivo?

Question

$$S_1 = \sum_ {k=1}^n ( \sin \left [~ p(k) + \cos p(k)~ \right ])$$

Me pregunto por qué esto parece dar $$ \frac {1}{n}S_2 \sim 1/2 $$

Gracias por cualquier información o referencia.

Editado a la luz de los comentarios algún código y una imagen de $S_2.$

$S_2$ = Tabla[Suma[Sin[ Prime[i] + Cos[ Prime[i]]], {i, 1, j}], {j, 1, 300}]]

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Esto parece ser un patrón para todos los números enteros positivos, no algo especial en los primos. El promedio de $ \sin (k+ \cos k)$ sobre $1 \le k \le n$ parece converger en $ \approx 0.44$ . Aquí hay una lista de estos promedios para $ 200 \le n \le 2000$ :

Answer 1

Su secuencia converge en $$J_1(1) = \frac {1}{2 \pi } \int_0 ^{2 \pi } \sin (t+ \cos t) \, \mathrm {d} t \approx 0.440051. $$ La expansión en serie de la función de Bessel da una expresión alternativa para esta constante: $$J_1(1) = \sum_ {m=0}^ \infty \frac {(-1)^m}{m!(m+1)!2^{2m+1}}.$$ Esta expresión implica fácilmente que $J_1(1)$ es irracional.

Considere primero la secuencia más simple $$ A_n = \frac {1}{n} \sum_ {i=1}^n \sin (i+ \cos i). $$ La función $f(t) = \sin (t+ \cos t)$ es periódica con el período $2 \pi $ . El teorema de equidistribución implica que $i \pmod {2 \pi }$ está asintóticamente equidistribuido en $[0,2 \pi )$ y así $$ A_n \to \frac {1}{2 \pi } \int_0 ^{2 \pi } \sin (t+ \cos t) \, \mathrm {d} t. $$

A continuación, su secuencia principal $$ B_n = \frac {1}{n} \sum_ {i=1}^n \sin (p_i+ \cos p_i), $$ donde $p_i$ es el $i$ El primo. A profundo teorema de Vinogradov implica que $p_i \pmod {2 \pi }$ está asintóticamente equidistribuido en $[0,2 \pi )$ y obtenemos el mismo resultado.