Son $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ ¿son isomorfos como grupos?

Question

Para ser claros, por $\mathbb Z$ Me refiero al grupo $(\mathbb Z, +)$ .

Mi respuesta intuitiva sería que no, pero no he podido encontrar una prueba de ello. Los invariantes básicos que conozco (por ejemplo, el orden de los elementos) no son útiles en este caso y mis conocimientos de los grupos abelianos infinitos son muy limitados.

En general, ¿es cierto que $\mathbb Z^n \cong \mathbb Z^m \iff n=m$ ?

Answer 1

Solución elemental. Si $\mathbb{Z}^n \cong \mathbb{Z}^m$ entonces $\mathbb{Z}^n / 2 \mathbb{Z}^n \cong \mathbb{Z}^m / 2 \mathbb{Z}^m$ es decir $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^m$ . El recuento da $2^n=2^m$ es decir $n=m$ .

La misma prueba lo demuestra: Si $R$ es un anillo conmutativo que tiene un anillo cociente finito no trivial, entonces $R^n \cong R^m$ como $R$ -módulos implica $n=m$ . Se sabe que esto es válido incluso para anillos conmutativos arbitrarios, y hay varias pruebas disponibles.

Answer 2

Tensarlas contra $\Bbb Q$ como $\Bbb Z$ -módulos y se puede considerar un invariante simple del espacio vectorial.