Pregunta sobre el cálculo de los límites directos

Question

Últimamente, he estado trabajando en los límites directos. En particular, dado

$$\mathbb{Z}^n \xrightarrow{M} \mathbb{Z}^n \xrightarrow{M} \mathbb{Z}^n \xrightarrow{M} \cdots$$

donde $M$ es un $n \times n$ matriz sobre $\mathbb{Z}$ entonces

(1) si los valores propios de $M$ son enteros, el límite directo es isomorfo a la suma de $\mathbb{Z}[\frac{1}{e_i}]$ donde $e_i$ es el $i$ el valor propio. Si $0$ es un valor propio, entonces basta con reducir el grado $n$ por el número de $0$ valores propios.

¿Hay alguna buena referencia para sacar esta conclusión? Cualquier libro o artículo en línea sería de gran ayuda.

(2) en el caso de que los valores propios sean irracionales, entonces se considera el determinante. Por ejemplo, el límite directo se convierte en $\mathbb{Z}[\frac{1}{d}]^n$ , donde $d$ es el determinante.

Estoy luchando un poco en esto, y cualquier ayuda sería apreciada. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $M$ ser un $R$ -módulo y $A\in R$ no es un divisor cero. Supongamos que queremos calcular el límite directo del sistema $M\to M\to M\to\cdots$ dado por la aplicación repetida de $A$ . Hay un buen truco que puede utilizarse para reinterpretar este sistema como si tuviera lugar por completo dentro del " localización " $(A)^{-1}M$ :

$$\large\begin{array}{cccccccc} M & \xrightarrow{~A~} & M & \xrightarrow{~A~} & M & \xrightarrow{~A~} & M & \xrightarrow{~A~} & \cdots \\[4pt] \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow \\[4pt] M & \hookrightarrow & A^{-1}M & \hookrightarrow & A^{-2}M & \hookrightarrow & A^{-3}M & \hookrightarrow & \cdots \end{array} $$

Las flechas hacia arriba representan la multiplicación por $A$ . Comprueba que todos los cuadrados del diagrama conmutan. Por tanto, los sistemas directos superior e inferior son equivalentes y sus límites directos son iguales.

Por $(A)$ aquí me refiero al set de todos los poderes de $A$ . Otra forma de pensar en ello es la "extensión de escalares" dada por el producto tensorial $(A)^{-1}M\cong (A)^{-1}R\otimes_RM$ . Nota $(A)^{-1}R$ (como anillo) es lo mismo que $R[A^{-1}]$ . El límite directo, entonces, es $\bigcup A^{-n}M=R[A^{-1}]M=(A)^{-1}M$ . Un ejemplo más fácil (que las matrices de números enteros) son los números enteros por sí mismos, dos ejemplos están cubiertos en esta pregunta .

El resto del ejercicio supongo que quiere Forma normal de Smith a utilizar. No estoy seguro de la ${\Bbb Z}[d^{-1}]$ .

Answer 2

De manera más general $F$ sea un módulo libre finitamente generado sobre un PID $A$ y $M : F \to F$ sea un endomorfismo. Entonces la forma normal de smith nos dice que existe una base de $F$ tal que $M$ se convierte en diagonal, digamos $M = \mathrm{diag}(d_1,\dotsc,d_n)$ con $d_1 | \dotsc | d_n$ en $A \setminus \{0\}$ . En otras palabras, $M$ es isomorfo a la suma directa de los endomorfismos $d_i : A \to A$ . El colímite de $A \xrightarrow{d_i} A \xrightarrow{d_i} \dotsc$ es isomorfo a la localización $A_{d_i}$ . Por lo tanto, el colímite de $F \xrightarrow{M} F \xrightarrow{M} $ es isomorfo a $\oplus_i A_{d_i}$ .

Editar. Esto no es correcto, ya que la forma normal de smith utiliza la fila y operaciones de columna, lo que significa que tenemos que elegir dos bases que son diferentes a priori. Los isomorfismos anteriores sólo se cumplen cuando estas bases son iguales.