La raíz cuadrada de un número primo es irracional.

Question

Si $p$ es un número primo, entonces $\sqrt{p}$ es irracional.

Sé que esta pregunta ha sido formulada antes, pero quiero asegurarme de que mi método sea claro. Mi método es el siguiente:

Supongamos que la raíz cuadrada del número primo $p$ es racional. Por lo tanto, podemos escribir $\sqrt{p} = \frac{a}{b}$. (En su forma más simple.) Entonces $p = \frac{a^2}{b^2}$, y por lo tanto, $p b^2 = a^2$.

Por lo tanto, $p$ divide a $a^2$, entonces $p$ divide a $a$. Sustituya $a$ por $pk$. Descubra que $p$ divide a $b$. Por lo tanto, esto es una contradicción ya que deberían ser primos relativos, es decir, mcd$(a,b)=1$.

Answer 1

Alternativamente, podrías usar el teorema de la raíz racional asumiendo una raíz racional para $x^2 - p = 0$ y demostrando que no puede serlo.