Acción g via Automorphism

Question

Aquí es un ejercicio de Isaacs, finito grupo teoría, $4D.1$:

Que $A$ actuar en $G$ via automorphism y asumir admite de que $N \trianglelefteq G$ $A$ y que $N \geq C_G(N)$. Asumir que $(|A|,|N|)=1$. Si $A$ actúa trivial en $N$, muestran que su acción en $G$ es trivial.

Sugerencia: Demostrar que $[G,A]\leq N$ y considerar $C_\Gamma(N)$ donde $\Gamma=G\rtimes A$

No pude conseguir la manera de cómo puedo usar la pista

Answer 1

Sólo puedo probar la conclusión es verdadera si la Asunción (| A |, | N |) = 1 se convierten en a (| A |, | G |) = 1.

Claramente, [A, N, G] = 1 y [N, G, A] = 1. Por lema de tres subgrupos, [G, A, N] = 1, lo que implica que el $[G,A]\le C_G(N) \le N$. Por la condición (| A |, | G |) = 1, obtenemos $G=C_G(A)[G,A]\le C_G(A)N=C_G(A)$, que implica $[G,A]=1$.