Demuestre que$X=\{0\} \cup \{\tfrac{1}{n}:n \in \mathbb{Z} - \{0\}\}$ es un espacio métrico completo

Question

¿Cómo podemos mostrar que el espacio métrico

$$X=\{0\} \cup \{\frac{1}{n}:n \in \mathbb{Z} - \{0\}\}$$ with the metric it inherits as a subset of $\mathbb{R}$ es completa?

Pensamientos

Completa métrica espacios son aquellos en los que todas las secuencias de Cauchy converge a un punto en el espacio. Para cualquier secuencia de Cauchy $(x_n)$ en el espacio, $|x_n|<1$, por lo que la secuencia es limitada; delimitada secuencias de Cauchy en $\mathbb{R}$ convergen en $\mathbb{R}$, por lo que el límite, $x$ decir, se encuentra en $\mathbb{R}$.

Supongamos que $x \notin X$. Me imagino que esto conduce a una contradicción, pero no puedo ver lo que es.

Cualquier ayuda se agradece. Saludos, MM.

Answer 1

SUGERENCIA (una variación de su enfoque):

Muestre que$X$ es un subconjunto cerrado de un espacio métrico completo. [De hecho, el mismo argumento muestra que cada subconjunto cerrado y acotado de los reales está completo.]

Answer 2

No estoy seguro de cuánto ayudará esto, pero es un enfoque interesante, no obstante,

1. Cada espacio métrico compacto está completo (esto es porque cada secuencia debe tener una subsecuencia convergente y, por lo tanto, cada secuencia de Cauchy es convergente).

2. Cada subconjunto cerrado y acotado de$\mathbb R$ es un espacio métrico compacto.

3. Un conjunto se cierra solo si contiene todos sus puntos límite.

Answer 3

Sugerencia: si$\{x_n\}$ es una secuencia en$X$, tiene una subsecuencia monótona. Si esta subsecuencia no es finalmente constante, ¿a qué debe converger?

Answer 4

Una forma de abordar el problema es demostrar que el conjunto es cerrado. Usted tendrá el resultado deseado como closedness implica la integridad completa de métricas de espacios y $\mathbb{R}$ es completa.

Observar que $X' = \{0\} $ Aquí $X'$ denota la derivada conjunto de $X$ desde el único punto límite de $X$$0$. Dado cualquier otro $1/n \in X $ eligiendo $ \delta = min \{|1/(n+1)-1/n|,|1/(n-1)-1/n| \} $ se puede ver que $(B(1/n, \delta)\setminus\{1/n\})\cap X = \emptyset. $ $1/n \notin X'$ todos los $n.$ Desde $X' \subset X$ tenemos que $X$ es cerrado y por lo tanto es completa.

Si usted desea abordar la cuestión mediante la definición de un espacio métrico completo, usted debe primero observar que cada secuencia de Cauchy en $X$ se convierte eventualmente constante o converge a $0$.

Obviamente, es más fácil abordar el problema utilizando el método anterior.

Answer 5

El enfoque más sencillo es probablemente para mostrar que $X$ es cerrado y utilice el hecho de que un subconjunto cerrado de un espacio métrico completo (con el subespacio métrico) es completa.

A ver que $X$ es cerrado, hay muchas maneras diferentes. He aquí una de las más útiles resultado:

Si $U=\bigcup_{i\in I}U_{i}$ es una unión de conjuntos cerrados $U_{i}\subset Y$, de forma que para cualquier $x\in Y\setminus U$ existe una vecindad $B_{x}\subset Y$ tal que $B_{x}\cap U_{i}\neq \emptyset$ sólo cantidad finita de los índices de $i\in I$, entonces U es un subconjunto cerrado de $Y$ (tenga en cuenta que el conjunto de índices $I$ puede ser arbitraria!).

En su caso, escriba el espacio $X$ como una unión de singleton (conjuntos cerrados), y nota que el origen es el único punto de reales, que no tiene el de arriba a la propiedad y que $0\in X$.

O, simplemente mostrar que $\mathbb{R}\setminus X$ es abrir considerando los dos casos $|x|\leq 1$ $|x|>1$ al $x\in \mathbb{R}\setminus X$.