Elemento de área en coordenadas polares - un problema de Convención

Question

Esto es lo que me esta volviendo loca, los matemáticos y los físicos utilizan diferentes notaciones para esféricas en coordenadas polares.

Ahora durante un cálculo vectorial problema que he tenido el siguiente problema: Tenía que encontrar a $d\underline{S}$ de la superficie de una esfera de radio $a$ centrada en el origen. En todos los libros siempre me parece que para una superficie parametrizada $\underline{r}(s,t)$ tenemos $d\underline{S} = \left(\frac{\partial \underline{r}}{\partial s}\times\frac{\partial \underline{r}}{\partial t}\right)dsdt$ en este orden.

Para la esfera he a $\underline{r}(\theta,\phi) = a\cos(\theta)\sin(\phi)\underline{i}+a\sin(\theta)\sin(\phi)\underline{j}+a\cos{\phi}\underline{k}$ $0\leq \theta\leq 2\pi$ $0\leq \phi\leq \pi$ Y de ahí llego $\frac{\partial \underline{r}}{\partial \theta}\times\frac{\partial \underline{r}}{\partial \phi} = -\underline{r}a\sin{\phi} d\theta d\phi$ que apunta hacia el interior así que me tome la de enfrente de ella.

En mis notas, que siempre preservar el orden que se conserva aquí (es decir, el primer parcial de la izquierda (es decir,$\frac{\partial}{\partial \theta}$) es el primer componente en los soportes de $\underline{r}(\theta,\phi)$). Preservar el orden que yo siempre debe obtener la correcta vector normal. Sin embargo por alguna extraña razón, cuando en mis notas, en los libros y en internet la gente tiene que calcular el $d\underline{S}$ para una esfera (como aquí) que siempre invertir las coordenadas y escribir las coordenadas esféricas como $(r,\theta,\phi)$ $0\leq \theta \leq \pi$ $0\leq \phi \leq 2\pi$ $\underline{r}(\theta,\phi)$ $\frac{\partial \underline{r}}{\partial \theta}\times\frac{\partial \underline{r}}{\partial \phi} = \underline{r}a\sin{\theta} d\theta d\phi$

¿por qué sucede esto? Es sólo una notación de la convención, sin embargo el orden de la parcial debe dar la correcta normal, aunque en mi ejemplo se da claramente el contrario, mientras con la otra notación, se le da el correcto.

Answer 1

No hay una "correcta normal". En cualquier parametrizar superficie $(u,v) \mapsto S(u,v)$, el vector $\frac{\partial S}{\partial u}\times\frac{\partial S}{\partial v}$ y su negativa tanto a la normal a la superficie, y no creo que ni uno de ellos es intrínsecamente más correcta que la otra.

En lo simple, la superficie de las esferas y cilindros, se pueden distinguir uno normal de la otra por condiciones geométricas. Así, para una esfera, por ejemplo, puede especificar que desea que el normal que "apunta hacia el centro", y para un cilindro puede especificar el normal que los puntos de "distancia desde el eje". Hay todavía dos de la unidad de vectores normales en cada punto de la superficie, y ninguno de los dos es más correcta que la otra, pero al menos usted tiene una manera de distinguir una de la otra. Tenga en cuenta que estas normales son independientes de cómo la superficie es programable.

En superficies complejas, a menudo no hay noción de "centro" o "eje", por lo que el enfoque geométrico no funciona. Así que, a veces, la única manera de distinguir los dos normales es por el hecho de que la "positiva" en el sentido de $\frac{\partial S}{\partial u}\times\frac{\partial S}{\partial v}$, y el otro es en la dirección opuesta, la dirección de $\frac{\partial S}{\partial v}\times\frac{\partial S}{\partial u}$. Pero al pensar de esta manera, usted ha presentado una dependencia en la superficie de la parametrización -- si cambia la configuración, el "positivo" normal podría voltear. Eso parece ser lo que le molesta.

Las normales de la superficie no siempre son intercambiables. Supongamos que usted está tratando de compensar las superficies de un objeto sólido, para hacerla más grande, el modelo de algún tipo de pintura o recubrimiento de proceso, tal vez. Obviamente la dirección de la compensación tiene que ser "al interior" o "en el aire". Si aquí hay un agujero circular en el objeto, necesidad de desplazamiento a lo largo de lo normal vectores que apuntan hacia el agujero del eje. Si hay un hemisférica bump, usted necesita para compensar la distancia desde el centro de la semiesfera, y si hay un hemisférica dent, usted necesita para compensar hacia su centro. El "correcto" normal está determinada por el proceso que está tratando de modelo (y no por la forma de las superficies son parametrizados). Si no hay conexión a cualquier proceso físico o algoritmo de cálculo que se indica lo contrario, los dos normales, las direcciones son igualmente correctos.

Answer 2

Parece que han tropezado en un ejemplo de la derecha-la regla de la mano. Considere la posibilidad de $\frac{d\underline{r}}{d\theta} \times \frac{d\underline{r}}{d\phi}$ vs $\frac{d\underline{r}}{d\phi} \times \frac{d\underline{r}}{d\theta}$. Ambos producen la misma magnitud, así como el mismo vector (hasta firmar). Es decir, $\frac{d\underline{r}}{d\phi} \times \frac{d\underline{r}}{d\theta} = -\left(\frac{d\underline{r}}{d\theta} \times \frac{d\underline{r}}{d\phi}\right)$. Esto es debido a que el producto cruzado es anticommutative. La correcta normal es dictada por el problema o de la aplicación para el problema. Así pues, si usted se pidió a encontrar el exterior, señalando normal que sería la correcta. Realmente no importa si usted tiene cuidado sobre el orden de la cruz del producto debido a identificar si usted cruzó en el orden en que el problema pide es relativamente fácil de hacer.