Una desigualdad con suma infinita

Question

Si $p>1$, y $k$ es un número entero positivo más de $1$,

Mostrar que %#% $ #%

Al principio, pensé que muchas ideas como desigualdad de Cauchy-Schwarz, expansión de Taylor, inducción en k, etcetera...

Pero no funcionan eficientemente...

Answer 1

Observe que $\dfrac{\ln^k x}{x^p}$ es una función decreciente con límite $0$, y así podemos usar integrales para entender su convergencia y su tamaño. Entonces

$$ \sum_{n \geq 1} \frac{\ln ^kn}{n^p}

por lo que necesitamos aproximar la integral. Realizar la sustitución $x \mapsto e^x$ (o $u = \ln x$) para ver que nuestra integral es

$$ \int_0^\infty u^{k+1}e^{-(p-1)u}\frac{\mathrm{d}u}{u},$$

que es casi una función Gamma. Realizar la sustitución $u \mapsto \frac{u}{p-1}$ para ver que nuestra integral es ahora

$$\frac{1}{(p-1)^{k+1}} \int_0^\infty u^{k+1}e^{-u}\frac{\mathrm{d}u}{u} = \frac{\Gamma(k+1)}{(p-1)^{k+1}} = \frac{k!}{(p-1)^{k+1}},$$

que es muy similar, pero sólo un poco más pequeño que su limite.

Answer 2

Demasiado largo para un comentario:

Euler famosa expresión para la función Gamma se puede volver a escribir (usando el hecho de que $a\ln b=$$=\ln b^a$ para $a=-1$, y la sustitución de $x\to\frac1x\big)$ como sigue:

$$k!=\int_0^1(-\ln x)^kdx=\int_0^1\ln^k\left(\dfrac1x\right)dx=\int_1^\infty\dfrac{\ln^kx}{x^2}dx$$

Luego, cambiando la potencia de x en el denominador de p, obtenemos

$$\int_1^\infty\dfrac{\ln^kx}{x^p}dx=\frac{k!}{(p-1)^{k+1}}$$

Al mismo tiempo, desde la $\displaystyle\zeta(p)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^p}$ , por derivating k veces con respecto a p e ignorando a los que resulten $(-1)^k$ factor, obtenemos

$$\left|\zeta^{(k)}(p)\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln^kn}{n^p}=\sum_{n=2}^\infty\frac{\ln^kn}{n^p}$$

desde $\ln1=0$, e $(a^x)'=a^x\cdot\ln a$. Para $p=2$ tenemos $\left|\zeta^{(k)}(2)\right|\simeq k!$ Estos vínculos entre las dos funciones, $\Gamma$$\zeta$, no debe venir como una sorpresa, especialmente dado el hecho de que $\Gamma\left(\frac1p\right)$ está vinculado, a través de Newton del teorema del binomio, con formas geométricas de la forma $x^p+y^p=r^p$, o, en otras palabras, con delimitadas las sumas de las potencias, mientras que por otro lado, el $\zeta$ función está relacionada también con la convergentes (y por lo tanto sujeto a las sumas de las potencias: de ahí los numerosos matemáticos identidades entre los dos.

De modo que su suma no es nada más que $|\zeta^{(k)}(p)|$, y el término de la derecha es nada más que lo que se obtendría si uno se para reemplazar el simbolo de la izquierda con un signo integral con los límites de integración $1$$\infty$, y su vínculo con la función factorial es debido a las razones mencionadas anteriormente. Por qué reemplazar el simbolo con un integrante de uno ? Debido a que las integrales no son otra cosa que la continua sumas, y el signo en sí proviene del latín medieval s, al igual que la discreta sumas proviene de la letra griega sigma.