¿Por qué es interesante la medida de Plancherel?

Question

Se puede promediar una función de clase $f:G\to\Bbb C$ para un grupo finito $G$ interpretando $f$ como una función de valor complejo en el espacio ${\rm cl}(G)$ de las clases de conjugación y el cálculo de la expectativa $\Bbb E(f(C))$ , donde $C$ es una variable aleatoria con valor de clase cuya distribución se extrae de la uniforme en $G$ .

A la luz de $\sum(\dim\rho)^2=|G|$ (donde la suma es sobre irreps complejos $\rho$ ), podríamos igualmente adjuntar los pesos $(\dim\rho)^2/|G|$ a irreversibles y girar $\widehat{G}$ en un espacio de probabilidad. Así obtenemos la medida de Plancherel en un grupo finito. ¿Pero a qué pregunta responde la medida de Plancherel? Históricamente, sabemos que la medida de Lebesgue y, más generalmente, la medida de Haar, responden a la pregunta de las medidas invariables por traslación, y lo hacen muy bien (existencia y unicidad). ¿Existe algún sistema a priori de buenas propiedades que nos hubiera gustado que tuviera una medida sobre irreps, y que más tarde hubiéramos podido descubrir que la medida de Plancherel satisface de forma única?

Para $G$ abelianos localmente compactos, los irreps complejos que comprenden $\widehat{G}$ son $1$ -y forman un grupo bajo tensores - esto es sólo el grupo dual, que tiene su propia topología (la topología compacta-abierta), y la medida de Plancherel es sólo la medida de Haar. Sin embargo, si $G$ es no abeliana, los irreps pueden ser de mayor dimensión y por tanto no están cerrados bajo producto tensorial. (La dualidad de Pontryagin se generaliza a la dualidad de Tannaka-Krein, donde miramos la simetría de la operación tensorial en la categoría completa de reps para recuperar $G$ (al menos así lo entiendo yo). Puede que esté enturbiando las aguas con el infinito noabeliano $G$ pero no sé cómo definir la medida de Plancherel en ese contexto.

Sabemos que las clases de conjugación son duales a las representaciones irreducibles (ver La respuesta de Qiaochu aquí La versión resumida es que se identifican con las especificaciones máximas de dos álgebras en un emparejamiento dual). Por lo general, no están en biyección, pero una situación en la que están en biyección es con grupos simétricos finitos. Podría haber algún proceso que sea "dual" para promediar las funciones de clase (que es donde aparece la medida aburrida sobre el conjunto de clases de conjugación) en el que la medida de Plancherel sea útil. Esto también podría explicar potencialmente por qué hay aplicaciones de la medida de Plancherel sobre grupos simétricos a cuestiones combinatorias/probabilísticas pero no he visto ninguna aplicación con otros grupos.

Answer 1

Lo que en definitiva se quiere estudiar es (al fijar a medida de Haar en el caso no compacto) la representación regular izquierda $\lambda\colon G\to U(L^2(G,\mathrm{Haar}))$ . Ahora bien, la teoría general nos dice que aunque no siempre es posible descomponer $L^2(G)$ como un directo suma de reprentaciones irreducibles (esto ya falla para $G=\mathbb Z$ ), siempre es posible descomponerlo como un integral directa de representaciones irreducibles (que están parametrizadas por el dual unitario $\widehat G$ de $G$ ). Ahora bien, si $G$ es unimodular y de tipo I, la descomposición integral directa (con respecto a ambos acciones izquierda y derecha de $G$ ) es la siguiente: $$ L^2(G) \cong \int_{\widehat G} H_\pi\,d\mu(\pi), $$ donde $H_\pi = \pi\otimes \pi^*$ y su comprensión requiere, en particular, determinar la medida $\mu$ en $\widehat G$ tal que lo anterior se convierte en un isomorfismo isométrico. La única medida con esta propiedad se llama Medida de Plancherel de $G$ (asociado a una determinada medida de Haar). Equivalentemente, es la única medida tal que $$ \|f\|_2^2 = \int_{\widehat{G}} \|\pi(f)\|_{\mathrm{HS}}^2 \mathrm{d}\mu(\pi),\quad f\in L^1(G,\mathrm{Haar})\cap L^2(G,\mathrm{Haar}). $$

Answer 2

En el caso, $G = S^1$ tenemos las funciones de clase $f \in L^2(G) = L^2(S^1)$ puede escribirse como la suma sobre representaciones irreductibles $\theta \mapsto e^{2\pi i n \theta}$ dando series de Fourier:

$$ f(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n) e^{2\pi i n x} = \mathbb{E}[\hat{f}(n)e^{2\pi i n x}]$$

En cierto sentido, reconstruimos nuestra función mediante la "media" de todas las representaciones.

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Podríamos prescindir de cualquier interpretación probabilística, pero ha resultado beneficiosa en determinados contextos.