¿Hay una manera fácil de razonar acerca de las expresiones que involucran muchos índices?

Question

He estado leyendo algunos de geometría de Riemann recientemente. Hasta el momento, creo que yo soy la comprensión de los conceptos lo suficientemente bien. Sin embargo, me resulta difícil de traducir algunas de las anotaciones en el significado.

Como un ejemplo, si $F$$G$$T^k_l(T_pM)$, se puede considerar que la suma $$ g^{i_1 r_1} \dots g^{i_k r_k} g_{j_1 s_1} \dots g_{j_l s_l} F^{j_1 \dots j_l}_{i_1 \dots i_k} G^{s_1 \dots s_l}_{r_1 \dots r_k} \etiqueta{1})$$ En realidad, esto es sólo el producto interior $$\langle F, G \rangle \tag{2}$$ donde $\langle \cdot , \cdot \rangle$ es el interior del producto se determina por alguna métrica $g$.

Ahora, (creo) yo entiendo lo que esto producto interior significa y cómo se define en términos de bajar/subir los índices, etc. Cuando leí la expresión (2), todo está bien. Sin embargo, la expresión (1) no impartir esta misma comprensión inmediata de lo que está pasando. Esta confusión de las preguntas:

La Pregunta: ¿Qué puedo hacer para hacer que la lectura y la comprensión de algunos de la notación utilizada en la geometría de Riemann de una más fácil/sencillo/más clara de la tarea? En particular, ¿cómo podría yo mejor razón acerca de las expresiones que involucran un gran número de índices?

Answer 1

Supongo que el problema en el ejemplo es que el índice de notación muestra un grano más fino de la imagen de lo que está pasando y así es, inevitablemente, más complejo y más difícil de analizar. Hay un par de en-entre las notaciones que se puede usar - resumen de tensor de expresiones o multi-índices:

$$ \langle F,G \rangle = (\text{tr}_g)^l (\text{tr}_{g^{-1}})^k (F \otimes G) = g^{IR} g_{JS} F^J_I G ^S_R$$

(El $g$s que aparece en la última expresión aquí son realmente $\otimes^k g,\otimes^lg$ con entrelazado de índices.)

Una vez que entienda cómo interno de los productos (,etc) están definidos en el tensor de productos ciertamente la más clara para escribirlos en el desarrollo conceptual de la notación; pero para muchos cálculos que necesitas para llegar hasta el meollo de la cuestión, donde el índice de notación es a menudo la cosa más fácil de tratar. Multi-índices son por lo general sólo vale la pena el esfuerzo cuando usted está tratando con una gran cantidad de índices, o más a menudo (como en tu ejemplo) un número arbitrario de los mismos. En la práctica es raro que venir a través de un tensor de rango $>4$ en la geometría de Riemann, por lo que no ve muy a menudo. Que hacen destilar un montón de significado, sin embargo - usted puede ver el multi-índice de $J$ como ser un estándar índice en el espacio de $\mathscr T^l T_p M$, punto en el cual la $g_{JS}$ es realmente el producto interior inducida en este espacio en el índice de notación.

Cuando estás sólo se trata de una métrica, es a menudo más clara para aumentar/disminuir los índices en lugar de escribir la métrica de forma explícita. Si usted está tratando con una mezcla de-valencia tensores, que significa que usted necesita el espacio fuera de los índices para evitar ambigüedades, es decir, escribir $F^{j_1 \ldots j_l} {}_{i_i \ldots i_k}$$G^{s_1 \ldots s_l} {}_{r_1 \ldots r_k}$. De esta manera, el producto interior se convierte en $$\langle F,G \rangle = F^J{}_I G_J{}^I = F^{j_1 \ldots j_l} {}_{i_1 \ldots i_k} G_{j_1 \ldots j_l}{}^{i_1 \ldots i_k},$$ which shows the pairing between $F$ and $G$ de forma más transparente.

Tal vez mirar Penrose de la notación gráfica. Por lo general es bastante torpe, pero le permite ver complicado tensor de expresiones modulo el sentido de ruido introducido por el particular de las etiquetas que le han dado los índices. Por esta razón, yo de vez en cuando uso (una degenerada versión de homebrew) para comprobar la igualdad de tales expresiones.

En general, aunque creo que es sólo cuestión de acostumbrarse a un índice de notación, y utilizarlo sólo cuando sea apropiado. Después de un tiempo parece más natural, y para los cálculos es a menudo la forma más fácil de notación, incluso si los puntos inicial y final son mejor descritos de manera más abstracta.