Intuición para la invariancia del determinante bajo cambio de base

Question

$$A' = PAP^{-1}$$ $$\det(A')=\det(P)\det(A)\det(P^{-1})=\det(A)$$

Ahora, eso tiene sentido algebraicamente, pero considera el siguiente diagrama:

Esta es una representación geométrica de los dos vectores base "normales $\bf i$ y $\bf j$ (denotaré este conjunto como $B$ ) en $\Bbb R^2$ y mi elección de dos nuevos vectores base $\bf i'$ y $\bf j'$ (denotaré este conjunto como $B'$ ). El determinante preserva el área del cuadrado unitario, que viene determinada por nuestra elección de vectores base. El área del cuadrado unitario en la base $B$ es diferente a la unidad de superficie cuadrada en base $B'$ .

El determinante da el área de la imagen del cuadrado unitario. La imagen del negro B cuadrado de la unidad será probablemente diferente a la imagen del rojo $B'$ cuadrado de la unidad, así que por qué es $\det(A)=\det(A')$ ?

Answer 1

Cuando se dice que el determinante es el área de la imagen del cuadrado unitario, se entiende por cuadrado unitario el cuadrado dado por los lados $e_1$ y $e_2$ los vectores base estándar. Otra forma de pensar en esto es observar de forma más general que el determinante es el factor de escala de la imagen de un cuadrado, de forma que $\det A$ es el volumen de $\text{Vol}(A(\text{square}))/\text{Vol(square)}$ . Por ejemplo, si $A$ es la identidad, entonces el cuadrado dado por $i'$ y $j'$ sigue satisfaciendo $\text{Vol}(A(\text{square}))/\text{Vol(square)}$ ya que la identidad no hace nada al cuadrado. Desde esta perspectiva, debe quedar claro que el determinante no depende de la base, porque el área de un cuadrado no depende de cómo se escriban sus lados. Si esto es confuso, piensa en el hecho de que si escribes el cubo dado por $i,j$ en la base $i'=2i,j'=2j$ entonces sus lados están dados por $\frac{1}{2}i',\frac{1}{2}j'$ para que su área sea $\frac{\text{area}(i',j')}{4}=1$ . Esencialmente, las coordenadas de los lados se escalan en la dirección opuesta a la de los vectores base.

Answer 2

Básicamente significa que para ver lo que sucede con su área, digamos, en metros cuadrados ( $\det(A')$ [m ${}^2$ ]) puede

1. Convierta las unidades a pies mediante $P^{-1}$ ,
2. Haga los cálculos en pies ${}^2$ ( $\det(A)$ ),
3. Convierta las unidades a metros mediante $P$ .

El resultado será el mismo. Por supuesto, la unidad cuadrada en metros y en pies tienen un aspecto diferente y una superficie diferente (1 m ${}^2\ne$ 1 pie ${}^2$ ), pero los cálculos de superficie en ambos sistemas son coherentes.