Voy a explicar mi comentario de arriba
Dado un operador $T: X \rightarrow Y$ donde $$X = \mathbb{K}^{n}$$
$$Y = l^{1}(\mathbb{N})$$ su norma está dada por
$$||T||_{op} = \sup_{x \neq 0}{\frac{||Tx||_{1}}{||x||_{2}}} = \sup_{||x||_{2} \leq 1}{||Tx||_{1}} = \sup_{||x||_{2} = 1}{||Tx||_{1}}$$
Así que tenemos que maximizar $$||Tx||_{1} = |x_{1}| + \ldots + |x_{n}|$$ given $$||x||_{2} := (x_{1}^{2} + \ldots + x_{n}^{2})^{\frac{1}{2}} = 1$$
Deje $t_{i} := |x_{i}|$, entonces nuestro problema se reformula de la siguiente manera:
$$t_{1} + t_{2} + \ldots + t_{n} \rightarrow \text{max}$$
$$t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + \ldots + t_{n}^{2} = 1$$
$$t_{i} \geq 0, \ \forall i = 1, \ldots, n$$
El Lagrangiano del problema es:
$$L = (t_{1} + \ldots + t_{n}) - \lambda (t_{1}^{2} + \ldots + t_{n}^{2} - 1)$$
y $\lambda$ queda para el multiplicador de lagrange.
La necesaria extremo condición implica:
$$\frac{\partial L}{\partial t_{i}} := 1 - \lambda(2t_{i}) = 0$$
por lo tanto $t_{i} = \frac{1}{2 \lambda}$. Desde $t_{i} \geq 0$ se sigue que $\lambda > 0$.
El punto fijo es $x = (\frac{1}{2 \lambda}, \ldots, \frac{1}{2 \lambda})$ y vamos a encontrar la lambda tal que la solución satisface la segunda condición en el problema anterior.
$||x||_{2} = 1$ es equivalente a
$$ n \cdot \frac{1}{4 \lambda^{2}} = 1$$ de la que podemos obtener
$\lambda = \frac{\sqrt{n}}{2}$
(tenga en cuenta que vamos a elegir es positiva, debido a las restricciones mencionadas anteriormente)
Por lo tanto $t_{i} = \frac{1}{\sqrt{n}}$ y el máximo es igual a $$\text{max} = n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$$
