Lo encontrar el lugar geométrico geométrico $z \in \mathbb C$ que $\frac{z+2}{z(z+1)}\in \mathbb R$

Question

Encontrar la geometría del lugar geométrico del conjunto de $z \in \mathbb C$ , de modo que $$\frac{z+2}{z(z+1)}\in \mathbb R$$ Fuente: IME (Militar, Instituto de Ingeniería, Brasil, examen de ingreso, 1974)

Mi intento: Con la notación $z=a+bi$, la solución que se ofrece en un libro es la línea de $b=0$ o el círculo de $(a+2)^2+b^2=2$ pero no pude encontrarlo, o no es capaz de reconocer este locus conjunto de la algebraicas desarrollo hice (o la solución o la declaración tiene algún error).

Sugerencias y soluciones son bienvenidos.

Answer 1

Un número complejo $w$ es real si y sólo si es igual a su conjugado $\bar{w}$. Así que usted necesita para resolver $$ \frac{z+2}{z(z+1)}=\frac{\bar{z}+2}{\bar{z}(\bar{z}+1)} $$ Cruz multiplicación da $$ z\bar{z}^2+z\bar{z}+2\bar{z}^2+2\bar{z}=z^2\bar{z}+z\bar{z}+2z^2+2z $$ y podemos transferir todo a la mano derecha: $$ z\bar{z}(z-\bar{z})+2(z^2-\bar{z}^2)+2(z-\bar{z})=0 $$ Esto tiene toda la recta real ($z=\bar{z}$) como una solución, puntos de $z=0$ e $z=-1$ excluidos, por supuesto; la eliminación de este factor nos encontramos con todas las otras soluciones: $$ z\bar{z}+2(z+\bar{z})+2=0 \etiqueta{*} $$ Ahora podemos sustituir el $z=x+yi$: $$ x^2+y^2+4x+2=0 $$ es decir, $$ (x+2)^2+y^2=2 $$ que es un círculo.

Usted puede evitar pasar a coordenadas reales al notar que la ecuación (*) se puede reescribir como $z\bar{z}+2z+2\bar{z}+4=2$, lo $(z+2)(\bar{z}+2)=2$ y, finalmente, $$ |z+2|^2=2 $$ lo que es claramente un círculo con el centro en $2$ y radio de $\sqrt{2}$.

Answer 2

Sugerencia: Multiplicar la fracción por <span class="math-container">$$ \frac{\bar z(\bar z-1)} {\bar z(\bar z-1)} \;. $$</span> de esta manera, el denominador será real y sólo debe buscar en el numerador, partiendo en su parte real e imaginaria.

Answer 3

Un poco Parcial Fracción de Descomposición antes de racionalización del denominador se reducen de cálculo.

$$\dfrac{z+2}{z(z+1)}=\dfrac1{z+1}+\dfrac{2(z+1-z)}{z(z+1)}=\dfrac2z-\dfrac1{z+1}$$

Ahora la parte imaginaria de $\dfrac2z$ es $-\dfrac{2y}{x^2+y^2}$

y que de $\dfrac1{z+1}$ es $-\dfrac y{(x+1)^2+y^2}$

Finalmente, $\dfrac{z+2}{z(z+1)}$ será real si $-\dfrac{2y}{x^2+y^2}=-\dfrac y{(x+1)^2+y^2}$

$\iff0=y(2x^2+2y^2+4x+2-x^2-y^2)=y\{(x+2)^2+y^2-2\}$

Answer 4

El uso de

$$ z = \sqrt{x^2+y^2}e^{\arctan\frac yx} $$

tenemos

$$ \frac{z+2}{z(z+1)} = \frac{\rho_1 e^{i\phi_1}}{\rho_2 e^{i\phi_2}\rho_3 e^{i\phi_3}} $$

y buscamos

$$ \arctan\frac{y}{x+2}-\arctan\frac yx -\arctan\frac{y}{x+1} = 0 $$

entonces

$$ \tan\left(\arctan\frac{y}{x+2} -\arctan\frac{y}{x+1}\right) = \frac yx $$

o

$$ y(y^2+x^2+4x+2) = 0 $$

NOTA

$$ \tan(a-b) = \frac{\bronceado a-\bronceado b}{1+\tan\bronceado b} $$

así

$$ \tan\left(\arctan\frac{y}{x+2} -\arctan\frac{y}{x+1}\right) = \frac{y}{y^2+x^2+3x+2} $$

etc.