Lista de integrales interesantes para los estudiantes de cálculo inicial

Question

Ahora mismo estoy enseñando Calc 1 y quiero dar a mis alumnos más ejemplos interesantes de integrales. Por interesantes, me refiero a que sean desafiantes, no tan sencillos (aunque no extremadamente desafiantes como los problemas de Putnam o algo así). Por ejemplo, tienen que hacer una $u$ -sustitución, pero para qué elegir $u$ no es tan fácil de averiguar como suele ser. O, varias opciones para $u$ trabajo para que puedan elegir uno que funcione, pero aprenden que no hay una sola manera de hacer todo.

Hasta ahora hemos cubierto las funciones trigonométricas, las funciones logarítmicas y las funciones exponenciales, pero no las funciones trigonométricas inversas (aunque llegaremos a esto pronto, así que esas también estarían bien). Hemos cubierto $u$ -sustitución. Pensamientos como la integración por partes, la sustitución trigonométrica y las fracciones parciales y todo eso se cubren en Calc 2, donde enseño. Así que, realmente no me preocupan mucho esos temas en este momento. Doy la bienvenida a las integrales sobre esos temas como respuestas, ya que pueden ser útiles para otras personas que miren esta pregunta, pero estoy esperando integrales que sean de interés para mis estudiantes este semestre.

Answer 1

Podrías considerar el viejo caballo de batalla $$\int \sec x\ dx$$ Es muy Es habitual que en los textos de cálculo se recurra al truco de multiplicar y dividir por $(\sec x + \tan x)$ Al hacerlo, la respuesta salta a la vista con un poco de simplificación. Cualquier estudiante razonable, sin embargo, podría quejarse de este "enfoque de conejo sacado de la chistera", preguntando: "¿Cómo demonios esperas que se me ocurra esta idea?". Lo único que consigue este enfoque es impresionar al alumno con la astucia del autor y, al mismo tiempo, hacerle sentir estúpido. He aquí un enfoque alternativo que implica un tipo de ingenio diferente, y quizás más accesible.

$$\begin{align} \int\sec x\ dx&=\int\frac{1}{\cos x}\ dx=\int \frac{\cos x}{\cos^2 x}\ dx = \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}\ dx\\ &= \int \cos x\left(\frac{1}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\right)\ dx\\ \end{align}$$ Continúa con las fracciones parciales: $$\begin{align} &=\int \frac{\cos x}{2}\left(\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}\right)\ dx\\ &= \frac{1}{2}\int\frac{\cos x}{1-\sin x}\ dx+\frac{1}{2}\int \frac{\cos x}{1+\sin x}\ dx\\ \end{align}$$ y ahora dos simples sustituciones y un poco de álgebra dan el resultado. De vez en cuando, después de dar esta versión, daré la versión del libro de texto como ejercicio, donde corresponde.

Answer 2

Un par de integrales que podrían encontrar interesantes es $$\int_0^{\pi/2} \cos^2 x \, dx \textrm{ and } \int_0^{\pi/2} \sin^2 x \, dx.$$

Estas integrales se pueden evaluar de dos maneras diferentes.

1. Utiliza las fórmulas del ángulo doble para encontrar las antiderivadas.

2. Intuitivamente, las integrales deberían ser las mismas, porque son la misma función sólo que invertida. Más formalmente, tus alumnos pueden comprobar que si haces la sustitución $u=\frac{\pi}{2}-x$ convierte una integral en la otra. Pero su suma es $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x + \cos^2 x \, dx=\int_0^{\pi/2} 1 \, dx$ .

Con el mismo truco, puede hacer que sus alumnos integren $$\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x} dx$$

Answer 3

Recuerdo haber pasado mucho tiempo tratando de descifrar $$\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}\,dx$$ en su día, que se simplificó mucho cuando descubrí que se podía dejar $u^6=x$ . Para su clase de Calc 2, siempre me ha gustado $\int \sqrt{\tan{x}}\,dx$ . Utiliza casi toda la cornucopia de trucos (sustitución, completar el cuadrado, fracciones parciales).

Además, a veces las integrales que uno podría abordar normalmente con la sustitución trigonométrica son mucho más rápidas si uno conoce las fórmulas explícitas para las funciones trigonométricas hiperbólicas inversas. Por ejemplo, $$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$$ se puede hacer con una sustitución trigonométrica, o notando que esto es $\mathrm{arsinh}(x)+c$ . En cualquier caso, se obtiene $\log{(x+\sqrt{1+x^2}})+ c$ pero sólo depende de si prefieres memorizar las fórmulas trigonométricas inversas o hacer los subconjuntos trigonométricos.

Answer 4

Algunos de mis trucos favoritos:

Añadir el cero $$\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{1+e^x} &=& \int \frac{du}{u(u+1)} \hspace{10ex} (u = e^x) \\ &=& \int du \frac{1+u-u}{u(1+u)} \\ &=& \int \frac{du}{u} - \int \frac{du}{1+u} \\ &=& \ldots \end{eqnarray*}$$

Multiplicar por uno $$\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{1+e^x} &=& \int dx \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} \\ &=& -\int \frac{du}{1+u} \hspace{10ex} (u = e^{-x}) \\ &=& \ldots %&=& -\log(1+e^{-x}) + C \end{eqnarray*}$$

Answer 5

El siguiente ejemplo es interesante porque hay varias opciones de sustitución. Esto fue en un examen que estaba calificando y para mí una era obvia y nunca se me ocurrió hacer ninguna otra sustitución. Pero, los estudiantes combinaron varias opciones y para mi sorpresa muchas funcionaron.

$$\int \sec^8 x \tan x \,dx$$

Para mí, la opción obvia es $u = \sec x$ , $du = \sec x \tan x \,dx$ lo que lleva a

$$\int u^7 \,du = \frac{\sec^8 x}{8} + C$$

Pero, para mi sorpresa, puedes elegir otros poderes de $\sec x$ . Si $u = \sec^n x$ , donde $n$ es un número entero positivo, entonces $du = n \sec^n x \tan x \,dx$ Así que $n = 1, 2, 4, 8$ todo el trabajo. Por ejemplo, si $u = \sec^4 x$ entonces $du = 4 \sec^4 x \tan x$ y así tenemos

$$\frac{1}{4} \int u \,du = \frac{1}{4} \frac{(\sec^4 x)^2}{2} + C$$