Yo estaba tratando de responder a esta pregunta, pero luego me encontré con una pregunta de mi propio relacionados con mi intento.
Tarea: Demostrar $$\int_0^\infty\frac{\exp(-x^2)}{1+x^2}\mathrm dx=\frac{\pi e}2\text{erfc}(1)$$ Intento: $$I=\int_0^{\infty}\frac{\exp(-x^2)}{1+x^2}\mathrm dx$$ A continuación, utilizamos la serie de Taylor de la función exponencial para encontrar que $$I=\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^\infty\frac{x^{2n}}{1+x^2}\mathrm dx$$ Establecimiento $x=\tan u$, $$I=\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^{\pi/2}\tan(u)^{2n}\mathrm{d}u$$ $$I=\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^{\pi/2}\sin(u)^{2n}\cos(u)^{-2n}\mathrm{d}u$$ Y el uso de $$\int_0^{\pi/2}\sin(t)^a\cos(t)^b\mathrm{d}t=\frac{\Gamma(\frac{a+1}{2})\Gamma(\frac{b+1}{2})}{2\Gamma(\frac{a+b}{2}+1)}$$ Tenemos $$I=\frac12\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{n!}\Gamma\bigg(\frac{1+2n}{2}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{1-2n}{2}\bigg)$$ $$I=\frac12\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{n!}\Gamma\bigg(\frac12+n\bigg)\Gamma\bigg(\frac12-n\bigg)$$ Recordar la Gamma reflexión fórmula: $$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\pi\csc\pi s\ ,\qquad s\not\in\Bbb Z$$ Desde $n\in\Bbb N_0$, tenemos $\frac12+n\not\in\Bbb Z$, lo que significa que puede conectarse en $s=\frac12+n$: $$I=\frac12\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{n!}\pi\csc\bigg(\frac\pi2+\pi n\bigg)$$ $$I=\frac\pi2\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{n!}\csc\bigg(\frac\pi2(2n+1)\bigg)$$ A continuación, recordamos que $$\sin\bigg(\frac\pi2(2n+1)\bigg)=(-1)^n,\qquad n\in\Bbb Z$$ Así tenemos $$I=\frac\pi2\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{n!}\frac1{(-1)^n}$$ $$I=\frac\pi2\sum_{n\geq0}\frac1{n!}$$ $$I=\frac{\pi e}2$$
Pero $$\frac{\pi e}2\neq \frac{\pi e}2\text{erfc}(1)$$ ¿Qué hice mal? Gracias.
Editar:
Veo que $$\int_{\Bbb R^+}\frac{x^{2n}}{1+x^2}\mathrm dx$$ diverge, y tal como se señaló en los comentarios, yo no puedo intercambio de las $\sum$ e $\int$, pero ¿por qué? La serie de Taylor converge para todos los $x\in\Bbb R_0^+$, entonces, ¿qué hay de malo con la swappage?
