¿Qué ocurre realmente en la medición de la ventaja de Hackenbush?

Question

Estoy leyendo Berlekamp/Conway/Guy's Formas de ganar sus juegos matemáticos. Aquí:

---

Estoy un poco confundido: ¿Qué está pasando aquí? Me parece que sabemos que un juego con un único borde rojo es un $1-$ ventaja de movimiento para el rojo. Pero todavía no podemos saber cuál es el valor de la ventaja para $(a)$ Así que llamamos a la ventaja del rojo y el azul $r,b$ . Entonces para $(a)$ tenemos $r,b$ ventajas.

Para $(b)$ tenemos $r+1,b-1$ ventajas. Ahora $(c)$ es una posición cero, parece que esto nos permite escribir las siguientes ecuaciones de ventaja: $2r+1=0, 2b-1=0$ y a partir de esto podemos conocer el valor de la ventaja de un determinado juego para cada jugador.

¿Es correcta mi interpretación? Pregunto cuál es la "moraleja de la historia", parece que siempre que no conozcamos el valor de un juego, podemos intentar "componerlo" con algunos otros juegos (como el juego con una sola arista roja o azul del que conocemos su valor) hasta formar una posición cero, a partir de la cual podemos escribir un sistema de ecuaciones, resolver y encontrar el valor de la ventaja de cada jugador en nuestro juego desconocido.

Answer 1

Su idea es correcta. Desde una perspectiva más amplia, el conjunto de posiciones (rojo-azul) de Hackenbush (hasta la equivalencia) forman un grupo abeliano totalmente ordenado (llamado números surrealistas ): tienen operaciones de suma y resta y una relación $\leq$ que satisfacen todas las propiedades habituales. Ahora, es un teorema que cualquier grupo abeliano totalmente ordenado $G$ satisfaciendo una determinada condición extra de "finitud" (la Arquímedes axioma) es isomorfo a un subgrupo de los números reales. Es decir, si se fija algún elemento de $G$ para llamar a " $1$ ", para cualquier otro elemento $g\in G$ se puede considerar el conjunto de números racionales $\frac{m}{n}$ tal que $m\cdot g\leq n\cdot 1$ . Este conjunto forma un corte Dedekind en los números racionales y determina así un número real. Se puede demostrar entonces que la cartografía $g$ a este número real es un isomorfismo de grupos abelianos ordenados de $G$ a un subgrupo de $\mathbb{R}$ .

Ahora, en el caso de Hackenbush, el conjunto de finito Las posiciones de Hackenbush (hasta la equivalencia) satisfacen el axioma de Arquímedes, por lo que se aplica este teorema. Esto significa que cuando identificamos algún elemento para ser $1$ Hay una forma canónica de identificar esas posiciones como números reales. Elegimos dejar que " $1$ "sea una posición con $1$ -de ventaja para la izquierda, por lo que podemos pensar en el número asociado a una posición como "el número de movimientos que la izquierda tiene por delante". Resulta entonces que el subgrupo de los números reales correspondiente a las posiciones finitas de Hackenbush es el grupo de los racionales diádicos.

Answer 2

Un juego Hackenbush tiene un valor que es un número, por lo que sólo se necesita un número para el valor de la posición, no $r,b$ por separado. Sí, una forma de valorar una posición es componerla con posiciones conocidas y encontrar una combinación que tenga $0$ y luego utilizar el álgebra para determinar el valor de la posición desconocida. Si dejamos que el valor de la posición $a$ sea $v$ el valor de la posición $c$ es $2v-1$ . Una vez que probamos que es $0$ podemos encontrar $v=\frac 12$ por álgebra.

Otra forma es mirar las opciones de una posición. La posición roja sobre azul es $\{0|1\}$ porque el azul puede pasar a $0$ y el rojo puede pasar a $1$ . Hay un teorema que viene a decir que el valor de $\{a|b\}$ es el número más sencillo que cabe entre $a$ y $b$ . Para $\{0|1\}$ es decir $\frac 12$