¿Valores de verdad parciales?

Question

En su ensayo La relatividad de lo incorrecto, Isaac Asimov escribió famosamente:

Cuando la gente pensaba que la Tierra era plana, estaban equivocados. Cuando la gente pensaba que la Tierra era esférica, estaban equivocados. Pero si crees que pensar que la Tierra es esférica es tan incorrecto como pensar que la Tierra es plana, entonces tu punto de vista es más incorrecto que ambos juntos.

En matemáticas y lógica formal, al menos según todos los libros de texto que he leído, una declaración válida puede tener exactamente uno de dos valores de verdad - verdadero o falso. Sin embargo, al igual que "la Tierra es plana" y "la Tierra es esférica" no son igualmente incorrectos, hay declaraciones matemáticas que, aunque falsas, pueden ser comparativamente más o menos falsas.

Por ejemplo, considera las declaraciones: $$(1)\qquad\forall x\in\mathbb{N}.\frac{x}{2}\in\mathbb{N}$$ $$(2)\qquad\forall x\in\mathbb{R}.\frac{x}{2}\in\mathbb{N}$$ $(1)$ es falsa si $\exists x\in\mathbb{N}:2\nmid x$, y $(2)$ es falsa si $\exists x\in\mathbb{R}:2\nmid x$. Dado que ambas condiciones se cumplen, $(1)$ y $(2)$ son ambas falsas. Sin embargo, $(1)$ está mucho más cerca de ser verdadera que $(2)$, debido a que hay incontablemente más contraejemplos para $(2)$ que para $(1)$. Además, para exactamente la mitad de todos los $x\in\mathbb{N}$, la declaración "$2\mid x$" es verdadera. Entonces parece razonable decir que $(1)$ es exactamente medio verdadera (por lo que también es medio falsa). Esto se sigue del hecho de que cada otro número natural es divisible por dos, lo que implica que a medida que un subconjunto $X\subset\mathbb{N}$ crece para abarcar todos los $\mathbb{N}$, la proporción entre los números pares $x\in X:2\mid x$ y los números impares $x\in X:2\nmid x$ converge a $\frac{1}{2}$.

De manera intuitiva, se podría concluir que cualquier declaración que pueda formularse como "Objeto (dominio) - Relación - Objeto" (es decir, $x\mid y,\quad a\subset b\iff x=3,\quad a\ast b=b\ast c\implies a=c$, etc.) puede recibir un valor de verdad entre $0$ (completamente falso, no en absoluto verdadero) y $1$ (completamente verdadero, no en absoluto falso).

Si permitimos esto, entonces las declaraciones que de otra manera no podrían evaluarse lógicamente, incluyendo ciertas declaraciones sin sentido como la paradoja del mentiroso, se vuelven susceptibles a la lógica formal. Del mismo modo, si una declaración falsa tiene una verdad subyacente (indicada por un valor de verdad no nulo), el dominio puede ajustarse hasta que el valor de verdad alcance $1$.

Encuentro esta noción increíblemente útil, tanto en los pasos previos a una demostración como en la conexión de las matemáticas con la vida cotidiana.

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Como nota al margen, creo que esto es muy similar - aunque no del todo idéntico - a la probabilidad, y ciertas ideas se trasladan bastante bien. Por ejemplo, el valor de verdad de $A\land B$ (asumiendo que $A$ y $B$ son independientes entre sí) es igual al producto de los valores de verdad de $A$ y $B$ (puedes comprobar esto con proposiciones sobre objetos en uno o más conjuntos finitos) - similar a cómo la probabilidad de que dos eventos independientes ocurran simultáneamente es el producto de sus probabilidades.

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Como una nota adicional, si hay una forma infalible de formalizar esto, podría proporcionar una base válida para desafiar el teorema de indefinibilidad de Tarski, aunque la definición de verdad sería inevitablemente circular. Creo que también podría requerir el uso de números reales o números reales extendidos para codificar declaraciones en lugar de la numeración de Gödel estándar, pero no sé lo suficiente sobre incompletitud para afirmarlo con certeza.

Answer 1

Cuando la gente pensaba que la Tierra era plana, estaban equivocados. Cuando la gente pensaba que la Tierra era esférica, estaban equivocados. Pero si piensas que pensar que la Tierra es esférica es tan equivocado como pensar que la Tierra es plana, entonces tu punto de vista es más equivocado que ambos juntos.

Creo que Asimov solo estaba siendo provocativo aquí. Perfectamente plana y perfectamente esférica de ninguna manera agotan todas las infinitas posibilidades. Claramente, ninguna es el caso. Ambas son falsas. Eso en sí mismo no significa que se requiera una extraña nueva lógica de "verdades parciales" o grados de verdad y falsedad. La lógica clásica (la base de la mayoría, si no de todas, las matemáticas modernas, la ciencia y la tecnología) está más que preparada para dar sentido a la forma constantemente cambiante de la Tierra con sus polos achatados, continentes a la deriva, erosión, etc.