Función acotada en$[0,1]$ sin max y min.

Question

Tenemos una función de $f$ definido en $[0, 1]$, la cual es limitada, pero no tiene máximo y mínimo ?

Yo no sé que $\arctan x$ me puede dar una pista, que está delimitada sin max y min, pero eso está en $\mathbb R$. Gracias!

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EDITADO:
En primer lugar gracias a todas las respuestas que he recibido.
Me gustaría hacer una pequeña pregunta adicional: ¿podemos encontrar algunos editado o mixto de las funciones trigonométricas para satisfacer este problema?
Si sí, un ejemplo, por favor!
La razón es, que me he quedado prendado con la idea de $\arctan x$ y otras posibles funciones trigonométricas.

Gracias!

Answer 1

$f(x)=x$ si $.25<x<.75$ , y $f(x)=0.5$ de lo contrario

Answer 2

No puede tener una función puramente trigonométrica definida en $[0,1]$ que no alcanza su máximo / mínimo porque sería continuo y se aplicaría el teorema del valor extremo.

$$ f (x) = \begin{cases}(1-x)\sin(\frac 1x) &; x\in(0,1]\\ 0 &; x=0 \end {cases} $$ Esta función es casi una función trigonométrica como usted especificó. Tiene $\sup_{x\in[0,1]} f(x)=1$ y $\inf_{x\in[0,1]} f(x)=-1$ pero esos valores no se alcanzan.

Answer 3

La función $f$ definida a continuación tiene $\sup_{x\in[0,1]} f(x)=1$ y $\inf_{x\in[0,1]} f(x)=-1$ pero no alcanza esos valores. $$ f (x) = \begin{cases}\frac {(-1)^nn}{n+1} &; x=\frac 1n \text{ for %#%#%}\\ 0 &; \text{otherwise} \end {casos} $$

Answer 4

El punto clave es la continuidad, sin eso podemos construir el contraejemplo como

• $f(x)=x \quad x\in [0,1/2)$

• $f(x)=0 \quad x=1/2$

• $f(x)=1-x \quad x\in (1/2,1]$

Consulte también el teorema del valor extremo .