¿Tiempo de velocidad hasta o disminuir cerca de un agujero negro?

Question

El Schwarzchild geometría se define como

$$ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{r} \right)dt^2+\left(1-\frac{2GM}{r} \right)^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2(\theta) d\phi^2)$$

Vamos a examinar lo que ocurre cerca y lejos de un agujero negro.

Para un observador estacionario en $r=\infty$, obtenemos

$$d\tau^2=-ds^2=\left(1-\frac{2GM}{\infty} \right)dt^2=dt^2 $$

de modo que el tiempo medido es el momento adecuado. Para un observador que gira alrededor de un agujero negro (supongo circular donde $\theta=\pi/2$) a una distancia $r=r_0$ lejos del agujero negro, obtenemos

$$d\tau^2=\left(1-\frac{2GM}{r_0} \right)dt^2-{r_0}^2d\phi^2$$

Para una órbita circular, se puede demostrar que $r_0^2 d\phi^2=\frac{GM}{r_0}dt^2$ y por lo tanto

$$d\tau^2=\left(1-\frac{3GM}{r_0} \right)dt^2$$

Por lo tanto $d\tau^2$ (el tiempo medido por un observador infinitamente lejos de un agujero negro) está a menos de $dt^2$ (el tiempo medido por un observador que gira alrededor de un agujero negro), lo que parece indicar que el tiempo se mueve más rápido cerca de los agujeros negros.

Podría alguien ser capaz de señalar el error en mi lógica aquí?

Answer 1

Para ampliar Javier respuesta, el símbolo de $\tau$ representa el momento adecuado, es decir, el tiempo medido en un determinado marco de referencia. Usa este símbolo para ambos el tiempo apropiado en el marco de el observador estacionario y el momento adecuado en el marco de la órbita de observador. Igualando estas dos diferentes momentos adecuados es incorrecta, lo cual es la razón por la que usted está recibiendo la respuesta equivocada. La cantidad que no cambia entre los fotogramas es $t$, que es la coordenada del tiempo. En este caso, hemos definido las coordenadas para que $t$ es el tiempo medido por el observador en el infinito.

Para evitar confusiones, vamos a usar $\tau_\infty$ para el tiempo apropiado, en el marco de el observador estacionario y $\tau_{orbit}$ para el tiempo apropiado, en el marco de la órbita de observador. Entonces, como usted bien mostró,

\begin{align} d\tau_\infty^2 &= dt^2 \\ d\tau_{orbit}^2 &= \left( 1-\frac{3GM}{r_0} \right) dt^2 \end{align}

De ello se sigue que

$$d\tau_{orbit}^2 = \left( 1-\frac{3GM}{r_0} \right) d\tau_\infty^2$$

cual es la respuesta correcta (como una comprobación de validez, el tiempo medido por la órbita observador es menor que el tiempo medido en el infinito).

Answer 2

Están mezclando las dos veces hacia arriba. Tiempo <span class="math-container">$\tau$</span> siempre es el tiempo medido por el observador que está considerando, en este caso el observador orbital y <span class="math-container">$t$</span> es coordinar hora, para la métrica de Schwarzschild es momento adecuado para un observador en el infinito. Así que en un intervalo dado de tiempo coordinado, las medidas de observador órbita menos tiempo, lo que significa que su reloj funciona más lento.

Answer 3

Por lo que puedo ver, en toda esta discusión un punto que falta (a menos que Yo me lo perdí). Nadie ha afirmado claramente que en el fin de comparar los tiempos de un operativo manera de hacer la comparación es necesaria. Generalmente, cuando estamos comparando los tiempos de los relojes que ocupan espacio diferente lugares, esto se logra a través de señales de luz.

Sólo cuando el procedimiento de comparación especificado se convierte en algo significativo para dicen que "el tiempo ... es menor que el tiempo ...". O de lo contrario "La cantidad que hace no cambio entre fotogramas es $t$". En este último caso, la pregunta obvia es: "¿cómo sabes de coordinar el tiempo?" (No en papel, sino en la lab.)

En algunos casos hay evidencia de que los procedimientos que los expertos tienden a dejar entendido, pero esto debe ser evitado cuando menos expertos están involucrados. Es bien sabido que aquí la causa más frecuente de errores está al acecho.

En el presente problema OP hizo simplemente intercambiar los significados de $t$y $\tau$. Su fórmula final es la derecha, pero su interpretación es al revés abajo.