Deje $L_1([0,1],m)$ ser el espacio de Banach de $\mathbb{K}$valores de funciones integrables con respecto a la medida de Lebesgue $m$, donde $\mathbb{K}$ es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. La norma en este espacio se define como: $||f||_1=\int_{[0,1]}|f| \ dm$. Tengo que demostrar que:
$a)$ Para $n \geq 2$ el operador $\varphi_n(f)=\int_{[0,1]}\ f g_n \ dm$, donde $g_n(x)=n \sin(n^2x)$ para $x \in [0,1]$ está vinculada con $||\varphi_n||=n$.
$b)$ Muestran que no existe $f \in L_1([0,1],m)$ tal que $\lim_{n \to \infty} |\varphi_n( f)|=\infty$.
MI INTENTO:
$g_n$ es Lebesgue integrable en $[0,1]$ ya que es Riemann integrable. Por lo tanto $fg_n \in L_1([0,1],m)$ e $|\int_{[0,1]}fg_n\ dm| \leq \int_{[0,1]}|fg_n| \ dm$. También tenemos que $||fg_n||_1 \leq ||f||_1||g_n||_\infty$.
Por lo tanto $||\varphi_n(f)||=|\int_{[0,1]}fg_n\ dm| \leq \int_{[0,1]}|fg_n|\ dm=||fg_n||_1 \leq ||f||_1 ||g_n||_\infty$, es decir, $\varphi_n$ está acotada. Ahora $||g_n||_\infty=n$ ya que es continua en un intervalo acotado y el $essential$ $supremum$ es el mismo que el $max$. Ahora me gustaría alcanzar la igualdad con alguna función, y una vez que me parece que puedo utilizar en parte $b)$. Alguna idea sobre la función?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Respuesta a la parte a): no es necesario para conseguir la igualdad en $|\int_{[0,1]} f(x)n\sin(n^{2}x)\,dx | \leq \|f\|_1\|g\|_{\infty}$. En su lugar, tenemos un 'aproximado de igualdad, como sigue: vaya a $\epsilon >0$. Elija $\delta >0$ tal que $\sin\, x>1-\epsilon$ para $\frac {\pi} 2 -\delta <x <\frac {\pi} 2 +\delta $. Deje $f=\frac {n^{2}} {2\delta} I_A$ donde $A=(\frac {\pi} {2n^{2}} -\frac {\delta} {n^{2}}, \frac {\pi} {2n^{2}} +\frac {\delta} {n^{2}})$. Simples cálculos muestran que $\|f\|_1=1$ e $\phi_n(f) >n(1-\epsilon)$. Por lo tanto $\|\phi_n\| \geq n(1-\epsilon)$ para todos los $\epsilon >0$. Por lo tanto $\|\phi_n\|\geq n$.
