¿Por qué mi proceso es incorrecto:-¿de cuántas maneras existen para elegir $5$ preguntas de tres conjuntos de $4$, con al menos una de cada conjunto?

Question

Pregunta

Una pregunta el papel de las matemáticas contiene $12$ preguntas divididas en tres partes a, B y C, cada una conteniendo $4$ preguntas. De cuántas maneras puede un examinado respuesta $5$ preguntas, la selección de al menos uno de cada parte.

Intento

En primer lugar, he seleccionado tres preguntas (una por cada parte) y se puede hacer de $4 \cdot 4 \cdot 4$ maneras. Y por lo tanto los dos restantes posiciones por dos preguntas se puede dar en $^9{\mathrm C}_2$ ya que no hay restricciones de ahora. Así, el total de las maneras es $36 \times 64=2304$.

Pero, en la respuesta dada en el manual de la solución es $624$. Y el proceso que se describe es:

A    B    C

1    1    3

1    2    2

que luego se arregló para la parte a se $3 \times (4 \times 4 \times 4 + 4 \times 6 \times 6) = 624$.

Por qué mi proceso es incorrecta? Entiendo que la segunda solución, pero, incapaz de encontrar algún fallo en mi intento. Por favor explique.

Answer 1

Vamos a comparar su método con la solución correcta.

Solución: Como usted ha dicho, cualquiera de las tres preguntas son seleccionados a partir de una sección con uno para cada una de las otras dos secciones o dos preguntas de cada uno de ellos son seleccionados a partir de dos secciones y se selecciona de entre el resto de la sección.

Tres preguntas de una sección y una pregunta de cada una de las otras dos secciones: Seleccione la sección a partir de la cual tres preguntas son dibujados, seleccione tres de las cuatro preguntas de esta sección, y seleccione una de las cuatro preguntas de cada una de las otras dos secciones. Esto se puede hacer en $$\binom{3}{1}\binom{4}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$$ maneras.

Dos preguntas de cada una de las dos secciones y una pregunta de la sección restante: Seleccione las dos secciones de que dos preguntas son dibujados, seleccione dos de las cuatro preguntas de cada una de esas secciones, y seleccione una de las cuatro preguntas de la otra sección. Esto se puede hacer en $$\binom{3}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{1}$$ maneras.

Total: Puesto que los dos casos son mutuamente excluyentes y exhaustivos, hay $$\binom{3}{1}\binom{4}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1} + \binom{3}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{1} = 624$$ formas de seleccionar cinco preguntas para que al menos se extrae de cada una de las tres secciones.

Por qué su método es malo?

Usted está contando cada selección en la que tres de las preguntas están dibujados de una sección y una pregunta que se extrae de cada una de las otras secciones de tres veces, una para cada forma de designar a uno de los tres preguntas como la pregunta que se extrae de esta sección. Por ejemplo, supongamos preguntas $A_1, A_2, A_3, B_1, C_1$ son seleccionados. Usted contar con esta selección de tres veces.

\begin{array}{c c} \text{designated questions} & \text{additional questions}\\ \hline A_1, B_1, C_1 & A_2, A_3\\ A_2, B_1, C_1 & A_1, A_3\\ A_3, B_1, C_1 & A_2, A_3 \end{array}

Usted está contando cada selección en la que dos preguntas cada uno se dibujan a partir de dos secciones y una pregunta que se extrae de la sección otros cuatro veces, dos veces para cada forma de designar a una de las dos preguntas de cada sección a partir de los cuales dos preguntas se dibujan como la pregunta que se extrae de esta sección. Por ejemplo, si preguntas a$A_1, A_2, B_1, B_2, C_1$ son dibujados, su método cuenta esta selección de cuatro veces.

\begin{array}{c c} \text{designated questions} & \text{additional questions}\\ \hline A_1, B_1, C_1 & A_2, B_2\\ A_1, B_2, C_1 & A_2, B_1\\ A_2, B_1, C_1 & A_1, B_2\\ A_2, B_2, C_1 & A_1, B_1 \end{array}

Observe que $$\binom{3}{1}\color{red}{\binom{3}{1}}\binom{4}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1} + \binom{3}{2}\color{red}{\binom{2}{1}}\binom{4}{2}\color{red}{\binom{2}{1}}\binom{4}{2}\binom{4}{1} = 2304$$

Answer 2

El problema con tu método es que son overcounting!

Por ejemplo: si elegir la pregunta 1 de la parte A como uno de los cuatro de la parte A, pero luego más tarde elegir pregunta 2 de la parte A como uno de los dos sobra, entonces usted podría terminar para arriba con el mismo conjunto de preguntas tenía primera pregunta solicitada 2 desde A como uno de los cuatro de A y luego la pregunta 1 de la A como una de las dos preguntas restantes. Pero su método esto cuenta como dos juegos separados.

Answer 3

Para seleccionar sólo tres preguntas, una por cada sección, usted está en lo correcto que hay $4\times 4\times 4$ maneras de hacerlo.

Ahora, si usted elige dos preguntas más de los restantes $9,$ hay (usando distintas notaciones) $9C2 = \binom92 = {}^9C_2 = 36$ maneras posibles de hacer ese paso. Si consideramos que cada uno resulta lista de preguntas para ser "diferente", entonces usted tendría $64\times 36 = 2304$ formas posibles.

La cosa es que, en la medida en que se trate, no cada secuencia de preguntas que usted eligió de acuerdo a su método es "diferente" al de todos los demás. Por ejemplo, la elección de las preguntas A1, B2, y C1 de las tres preguntas (uno de cada sección), y, a continuación, A2 y A3 para el resto de dos de los nueve, da el mismo resultado que la elección de las preguntas A3, B2, y C1 y, a continuación, la elección de A1 y A2 para los restantes dos de los nueve. En ambos casos el examinado responde A1, A2, A3, B2 y C1.