Ya que usted menciona de diagonalización te voy a dar un croquis de) prueba que utiliza el método. Para esta prueba para trabajar, tenemos que asumir también que $\mathscr H$ es separable , aunque.
Deje $E=\{e_1,e_2,\dots\}$ ser un ortonormales base de $\mathscr H$ (que existe por nuestra suposición de que $\mathscr H$ es separable). Para cada uno de ellos fijo $i\in\Bbb N$, la secuencia de $(a_n)_n$ definido por
$$
a^{(i)}_n:=\langle x_n,e_i\rangle
$$
es un almacén de secuencia en $\Bbb R$ (o $\Bbb C$, dependiendo de lo que su campo base), de ahí se puede extraer una larga $a^{(i)}_{n_k}\to a^{(i)}$. Esto corresponde a una larga $(x_{n_k})_k$.
Se puede ver ahora que la diagonal de la secuencia que debe tomar para que $\langle x_{n_k},e_i\rangle$ converge para todos los $i\in\Bbb N$?
Sabemos que $E$ es una base ortonormales, ¿qué se necesita para hacer a la conclusión de que la $\langle x_{n_k},y\rangle$ converge para todos los $y\in \mathscr H$?
Edit: Denotar $(x^{(i)}_{n})_n$ a de la $i^{\text{th}}$ subsequence de $(x_n)_n$, es decir, tenemos $x^{(0)}_{n}=x_n$ y que $x^{(i+1)}_{k}=x^{(i)}_{n_k}$ ser un subsequence de $x^{(i)}_{n}$.
Considere la posibilidad de
$$
\begin{matrix}
x^{(1)}_1 & x^{(1)}_2 & x^{(1)}_3 & \dots & \text{ a subseq. such that %#%#%} \\
x^{(2)}_1 & x^{(2)}_2 & x^{(2)}_3 & \dots & \text{ a subseq. such that %#%#%}\\
x^{(3)}_1 & x^{(3)}_2 & x^{(3)}_3 & \dots & \text{ a subseq. such that %#%#%} \\
\vdots
\end{de la matriz}
$$
podemos definir una secuencia diagonal $a^{(1)}_{n_k} \to a^{(1)}$. De la construcción, es fácil ver que $a^{(2)}_{n_k} \to a^{(2)}$ para todos los $a^{(3)}_{n_k} \to a^{(3)}$.
Gracias a la observación Berci, en realidad mi prueba de obras para inseparable espacio de Hilbert $x'_n:=x^{(n)}_n$ así. Sólo tenemos que restringir nuestra atención a la (separable) el subespacio $\langle x'_{n},e^{(i)}\rangle \to a^{(i)}$ .
