Dado un trapecio con base $AD$ mayor parte $CD$. Conoce a la bisectriz de $\angle D$ $AB$ $K$. Prueba $AK > KB$

Question

Tenemos un trapecio $ABCD$ con base $AD$ mayor que el lado de la $CD$. La bisectriz de $\angle D$ cruza de lado a$AB$ a punto de $K$. Demostrar que $AK>KB$.

Todo lo que he hecho es hacer tales dibujo en GeoGebra, que, obviamente, se me mostró que $AK>KB$, incluso si extiendo $AD$ muy, muy largo. Creo que la solución debe ir de alguna manera a través de la semejanza de triángulos, pero no tengo ni la menor idea de cómo. Yo realmente apreciaría cualquier ayuda que proporcionan. Hablar de más, yo en serio, no necesita toda la solución. Incluso una pequeña pista sería muy útil para mí, ya que yo realmente no sé por dónde empezar.

EDIT: error clave se hizo en el anterior problema: no $AD$ que es mayor que $BC$, pero $AD$ es mayor que el lado $CD$.

Answer 1

(Escrito antes de la declaración del problema fue corregido)

$AK>KB$ es simplemente no es cierto en todos los casos:

En este caso, $AD>BC$ pero $AK<KB$.

Algunos pensamientos adicionales:

Extender $DK$ e $BC$ e indicar el punto de intersección con $E$. Triángulo $EDC$ es isósceles así:

$$EB=EC-BC=CD-BC$$

Es fácil ver que los triángulos BKE y AKD son similares. Por lo tanto tenemos:

$$\frac{AK}{KB}=\frac{AD}{EB}$$

Si $AK>KB$ luego :

$$\frac{AK}{KB}=\frac{AD}{EB}=\frac{AD}{CD-BC}>1\tag{1}$$ lo cual es cierto para

$$AD+BC>CD$$

Por lo que este problema debe adicionales condtion. De lo contrario, la premisa no es cierto en un caso general.

EDIT: resulta que el problema estaba mal. Tenemos que suponer que $AD>CD$.

En ese caso, a partir de (1) es obvio que:

$$\frac{AK}{KB}=\frac{AD}{CD-BC}\gt \frac{AD}{CD}\gt1$$

...o:

$$AK>KB$$

Answer 2

Una manera obvia es una manera con la introducción de un sistema de coordenadas. Deje $D$ ser el origen y $DK$ el eje. Decir $A$ es una línea de $y=kx$ entonces $C$ está en la línea de $y=-kx$, por lo que hemos de positivos $a$ y negativo $c$: $$A=(a,ka)\;\;\;\;\;\;C= (c,-ck)$$

Desde $B$ está en paralelo con $AD$ través $C$, que tiene una ecuación $$ y = kx -2kc$$ we have, for some $b>c$: $$B= (b,k(b-2c))$$

Ahora la línea de $AB$ tiene una ecuación de $$y -ka = {k(a-b+2c)\over a-b}(x-a)$$ así, por $x=0$ obtenemos $y$ coordenadas de $K$ y obtenemos: $$ K = (0,{2kac\over b-a})$$

Ahora podemos calcular \begin{eqnarray}AK^2-KB^2 &=& a^2+k^2a^2{(a-b+2c)^2\over (b-a)^2}-b^2-k^2b^2{(a-b+2c)^2\over (b-a)^2}\\ &= &(a^2-b^2)(1+k^2{(a-b+2c)^2\over (b-a)^2})\\ &\geq &0 \end{eqnarray} Por lo $AK> BK$ SÓLO SI $a>|b|$. Si $|b|>a$ entonces tenemos: