Intuición Geométrica
Como $\mathcal{G}_s$ $W_1$ se dan los valores de $W_s$ $W_1$ son conocidos. Así
$$
\mathbb{E}\left(W_t-W_s|\mathcal{G}_s\right)
$$
es la expectativa de un puente de $X_t=\left(W_t-W_s\right)|\mathcal{G}_s$, cuya trayectoria pasa a través de $0$ al $t=s$ y a través de $W_1-W_s$ al $t=1$. Intuitivamente, la expectativa de esta $X_t$, es decir,$\mathbb{E}X_t$, sería la interpolación lineal entre el$\left(t,X_t\right)|_{t=s}=\left(s,0\right)$$\left(t,X_t\right)|_{t=1}=\left(1,W_1-W_s\right)$, es decir,
$$
\mathbb{E}X_t=X_s+\frac{\left(W_1-W_s\right)-0}{1-s}\left(t-s\right)=\frac{t-s}{1-s}\left(W_1-W_s\right).
$$
Esta intuición puede ser utilizado para adivinar cuál es la esperanza condicional es (si es que no se da). Sobre esta conjetura, una posible prueba con rigor matemático podría ser el siguiente.
Rigurosas Pruebas
Solo debe mostrar estos dos hechos, siempre que $0<s<t<1$:
- $\left(W_t-W_s\right)-\frac{t-s}{1-s}\left(W_1-W_s\right)$ es independiente de $W_s$, y por lo tanto independiente de $\mathcal{F}_s^W$;
- $\left(W_t-W_s\right)-\frac{t-s}{1-s}\left(W_1-W_s\right)$ es independiente de $W_1$.
Desde $\left(W_t-W_s\right)-\frac{t-s}{1-s}\left(W_1-W_s\right)$, $W_s$ y $W_1$ son todos Gaussiano con fijo $s$$t$, basta con comprobar si
$$
\text{Cov}\left(\left(W_t-W_s\right)-\frac{t-s}{1-s}\left(W_1-W_s\right),W_u\right)=0
$$
para $u=s,1$.
Tenga en cuenta que
\begin{align}
&\text{Cov}\left(\left(W_t-W_s\right)-\frac{t-s}{1-s}\left(W_1-W_s\right),W_u\right)\\
&=\text{Cov}\left(W_t-\frac{1-t}{1-s}W_s-\frac{t-s}{1-s}W_1,W_u\right)\\
&=\text{Cov}\left(W_t,W_u\right)-\frac{1-t}{1-s}\text{Cov}\left(W_s,W_u\right)-\frac{t-s}{1-s}\text{Cov}\left(W_1,W_u\right)\\
&=t\wedge u-\frac{1-t}{1-s}s\wedge u-\frac{t-s}{1-s}1\wedge u,
\end{align}
donde $a\wedge b=\min\left\{a,b\right\}$.
Recordemos que $0<s<t<1$. Al $u=s$,
$$
t\wedge s-\frac{1-t}{1-s}s\wedge s-\frac{t-s}{1-s}1\wedge s=s-\frac{1-t}{1-s s}-\frac{t-s}{1-s}s=0;
$$
al $u=1$,
$$
t\wedge 1-\frac{1-t}{1-s}s\wedge 1-\frac{t-s}{1-s}1\wedge 1=t-\frac{1-t}{1-s s}-\frac{t-s}{1-s}1=0.
$$
Por lo tanto, $\left(W_t-W_s\right)-\frac{t-s}{1-s}\left(W_1-W_s\right)$ es independiente de $W_s$ (y, por tanto, independiente de $\mathcal{F}_s^W$) y $W_1$, y por lo tanto independiente de $\mathcal{G}_s$. Como resultado,
$$
\mathbb{E}\left[\left(W_t-W_s\right)-\frac{t-s}{1-s}\left(W_1-W_s\right)\Bigg|\mathcal{G}_s\right]=\mathbb{E}\left(\left(W_t-W_s\right)-\frac{t-s}{1-s}\left(W_1-W_s\right)\right)=0,
$$
que inmediatamente lleva a la
$$
\mathbb{E}\left(W_t-W_s|\mathcal{G}_s\right)=\mathbb{E}\left[\frac{t-s}{1-s}\left(W_1-W_s\right)\Bigg|\mathcal{G}_s\right]=\frac{t-s}{1-s}\left(W_1-W_s\right).
$$
Más detalles pueden ser encontrados en esta referencia, en especial en las secciones 4 y 6 en el mismo.
