Conjetura de Poincaré suave

Question

Uno de mis profesores escribió la siguiente pregunta abierta en la pizarra:

Si $M$ es una zona lisa, compacta y conectada $4$ -tal que $\pi_1(M) = 0$ , $\pi_2(M) = 0$ (los dos primeros grupos de homotopía son triviales), ¿se deduce que $M$ es difeomorfo a la $4$ -¿Esfera?

y nos advirtió de que, si conseguíamos resolverlo, obtendríamos un doctorado instantáneo así que, deseoso de obtener un doctorado antes de mi licenciatura, me puse a trabajar inmediatamente ;-)

Mi primer pensamiento fue el siguiente: Si uno pudiera dotar $M$ con una métrica riemanniana que da una variedad riemanniana con curvatura seccional constante $1$ , entonces por compacidad $M$ sería una variedad completa, conectada y simplemente conectada de curvatura $1$ , lo que implicaría la afirmación.

Ahora, obviamente, no llegué mucho más lejos que esto (¡mis sueños se rompieron!).

De todos modos, esto nos lleva a la pregunta:

"¿Cuándo es posible dotar a una variedad suave de una métrica que tenga algunas propiedades deseadas (es decir, curvatura constante o curvatura acotada)?"

¿Se ha trabajado mucho en esto? ¿Hay algún buen libro o documento que pueda consultar (para saber cómo enfocan los expertos este problema)?

También me preguntaba si lo anterior es realmente un enfoque del problema adoptado por las personas que trabajan sobre el terreno. ¿O puede ser completamente inútil intentar obtener algún control de la métrica a nivel global?

Bueno, como siempre agradezco de antemano cualquier comentario, respuesta, etc.

Saludos cordiales, S.L.

Answer 1

Me imagino que conseguirías algo más que un doctorado.

Me da la impresión de que, en general, es imposible conseguir el control de la métrica a nivel mundial. El problema es que si $g_1$ y $g_2$ son métricas, entonces también lo son $g_1 + g_2$ pero la curvatura de $g_1+g_2$ puede ser muy diferente de $g_1$ y $g_2$ .

Dicho de otro modo, normalmente se utiliza un argumento de partición de la unidad para demostrar que la métrica existe en todas las variedades suaves (paracompactas), pero la curvatura es no se comportan bien bajo particiones de la unidad.

Otro punto muy relevante es la conjetura de Hopf: que $S^2\times S^2$ no lleva una métrica de curvatura seccional positiva. Si adaptáramos su método a este escenario, sólo estaríamos tratando de demostrar la curvatura positiva, que está muy lejos de la curvatura seccional positiva constante, pero los esfuerzos aquí han sido bastante infructuosos.

Además, Burkhard Wilking ha demostrado $\mathbb{R}P^2\times\mathbb{R}P^3$ tiene una métrica de "curvatura casi positiva" - tiene un conjunto denso abierto de puntos $U$ tal que para cualquier punto de $U$ Todas las curvaturas de la sección son positivas. Se deduce del Teorema de Synge clásico, que este ejemplo no puede deformarse a curvatura positiva en todas partes. Por lo tanto, si se consiguiera una métrica "más o menos" agradable en su hipotético $S^4$ entonces todavía no hay razón para suponer que se puede deformar a uno incluso de curvatura positiva. (Aunque, para ser claros, si $M$ está simplemente conectada con una métrica de curvatura casi positiva, aún está completamente abierto si ésta puede o no deformarse a curvatura positiva).

En el lado positivo, Jeff Cheeger demostró que la suma de conexión de cualquier par de $\mathbb{R}P^n$ , $\mathbb{C}P^n$ , $\mathbb{H}P^n$ o $\mathbb{O}P^2$ (de dimensiones adecuadas) lleva una métrica de curvatura seccional no negativa. Para ello, examina cada una de esas variedades menos un punto, y muestra que cerca del punto eliminado, se puede deformar la métrica para que sea curvada no negativa en todas partes y localmente isométrica al producto $S^{k}\times \mathbb{R}$ cerca del punto eliminado. Esto garantiza que puede pegar las métricas en cada pieza y obtener una métrica suave y no negativa.