Dado el espacio de todas las funciones integrales cuadradas sobre $[0,1]$ : $L^2([0,1], \mathcal{B}([0,1]), m)$ y un movimiento browniano $W_t$ definido en el espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ definimos $$h(A) = \int_0^1 1_A(t)dW_t$$ para todos $A \in \mathcal{B}([0,1])$ .
Entonces, para la disyuntiva $(A_n)_{n\geq 1}$ sabemos que $$h\left(\bigcup\limits_n A_n\right) = \sum_n h(A_n)$$ en $L^2$ y casi seguramente
Es bien sabido que a pesar de la identidad anterior, $h$ no define una medida con signo porque aunque $h\left(\bigcup\limits_n A_n\right) = \sum\limits_n h(A_n)$ casi con seguridad, el conjunto de excepcionales $\omega$ s depende de la secuencia $(A_n)$ .
Me enteré de este hecho hace mucho tiempo, pero todavía estoy un poco confundido. La afirmación anterior sólo dice que como "el conjunto excepcional de $\omega$ s depende de la secuencia $A_n$ ", no logramos probar $h$ es una medida de la trayectoria. Pero, ¿por qué no es posible que "por casualidad" todos los excepcionales $\omega$ s resulta estar en un conjunto despreciable, por lo que aún podemos definir una medida pathwise para casi todos los $\omega$ ?
En resumen, pido ayuda para demostrar, no importa cómo modifiquemos $h(A)$ para un valor insignificante $\omega$ s, siempre hay un conjunto $S$ de probabilidad positiva, tal que para todo $\omega \in S$ podemos encontrar una secuencia de $A_n \in \mathcal{B}([0,1])$ tal que $h\left(\bigcup\limits_n A_n\right)(\omega) \neq \sum\limits_n h(A_n)(\omega)$ .
