¿Cómo calcular el espacio nulo en el arce?

Question

Tengo la matriz $$A := \begin{bmatrix}6& 9& 15\\-5& -10& -21\\ 2& 5& 11\end{bmatrix}.$$ ¿Alguien puede decirme cómo encontrar los espacios eigénicos a mano y también usando el comando Nullspace en maple? Gracias.

Answer 1

Dada la matriz

$$A = \left(\begin{matrix}6& 9& 15\\-5& -10& -21\\ 2& 5& 11\end{matrix}\right).$$

Encuentra el Eigensystem a mano.

En primer lugar, vamos a encontrar los valores propios resolviendo $det(A - \lambda I) = 0$ por lo que tenemos:

$$det(A - \lambda I) = \left|\begin{matrix}6 - \lambda & 9& 15\\-5& -10 - \lambda & -21\\ 2& 5& 11 - \lambda\end{matrix}\right| = 0.$$

Esto nos da el polinomio característico:

$$-\lambda^3 + 7\lambda^2 - 16\lambda + 12 = 0$$

De aquí obtenemos dos valores propios (uno se repite) como: $\lambda_1 = 3, ~ \lambda_{2,3} = 2$

A continuación, queremos encontrar el vector propio para el valor propio $\lambda_1$ resolviendo la ecuación $(A - \lambda_1) v_1 = 0$ .

$(A-\lambda_1)v_1 = (A-3)v_1 = \left(\begin{matrix}3 & 9& 15\\-5& -13 & -21\\ 2& 5& 8\end{matrix}\right)v_1 = 0.$

Utilizando la forma de escalón reducido, esto nos lleva a $v_1 = (1,-2,1).$

A continuación, queremos encontrar el vector propio para el valor propio $\lambda_2$ resolviendo la ecuación $(A - \lambda_2) v_2 = 0.$

$(A-\lambda_2)v_2 = (A-2)v_2 = \left(\begin{matrix}4 & 9& 15\\-5& -12 & -21\\ 2& 5& 9\end{matrix}\right)v_2 = 0.$

Utilizando la forma de escalón reducido, esto nos lleva a $v_2 = (3,-3,1).$

Como tenemos un valor propio repetido, hay que tener cuidado con las multiplicidades algebraicas y geométricas (hay que saber lo que son), si la matriz es diagonalizable (puedes trabajar estos detalles).

• La multiplicidad algebraica de un valor propio es el número de veces que es una raíz.

• La multiplicidad geométrica de un valor propio es el número de vectores propios linealmente independientes para el valor propio.

Para encontrar el vector propio de $\lambda_3$ resolveremos $(A - \lambda_3 I)v_3 = v_2$ (ya habrán aprendido el porqué en clase), así que tenemos (se muestra en forma aumentada):

$\left(\begin{array}{@{}ccc|c@{}} 4 & 9& 15 & 3\\-5& -13 & -21 & -3\\ 2& 5& 8 & 1 \end{array} \right)v_3 = 0$

Utilizando RREF, esto resulta en $v_3 = (3, -1, 0)$ .

Así, tenemos:

$$\lambda_1 = 3, v_1 = (1, -2, 1)$$

$$\lambda_2 = 2, v_2 = (3, -3, 1)$$

$$\lambda_2 = 2, v_3 = (3,-1, 0)$$

¿Sabes cómo utilizar la información anterior para escribir la forma diagonal, también conocida como Forma normal de Jordania ?

$$A = P J P^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 1 \\ -3 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 & -3 & -5 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{bmatrix}$$

Babak Sorouh ya te explicó el espacio nulo y Mhenni Benghorbal mostró los comandos de Arce, así que no es necesario repetirlo.

Saludos

Answer 2

Sabes que, los conjuntos de soluciones de los sistemas lineales homogéneos $Ax=0$ proporcionan una importante fuente de espacios vectoriales llamada Nullspace. Aquí, $det(A)\neq0$ por lo que el sistema anterior sólo tiene un triple en $\mathbb R^3$ como su solución $$0^*=(0,0,0)$$ por lo que el Nullspace es un subespacio vectorial trivial de $\mathbb R^3$ $$\langle 0^*\rangle$$

Answer 3

Estos son los comandos de Maple

con(ÁlgebraLineal):

A := <<6,9,15>|<-5,-10,-21>|<2,5,11>>;

NS := NullSpace(A);

ES := Vectores propios(A);