Demuestre que si$x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}}$ y$y = \sqrt{a^{\cos^{-1}t}}$ entonces$\frac{dy}{dx}$ =$-\frac{y}x$

Question

Probar:

Si$x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}}$ y$y = \sqrt{a^{\cos^{-1}t}}$ donde$\sin^{-1}$ y$\cos^{-1}$ son funciones de disparo inverso, muestre que$\frac{dy}{dx}$ =$-\frac{y}x$

Lamentablemente no veo cómo se puede hacer esto. Al diferenciar xey por separado a través de la diferenciación paramétrica, obtengo los siguientes dos resultados:

$\frac{dx}{dt} = \frac{\log a}{2\sqrt{1 - t^2}}$

y

$\frac{dy}{dt} = -\frac{\log a}{2\sqrt{1-t^2}}$

Desafortunadamente, no veo cómo puedo usar eso para llegar a$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}x$

Answer 1

INSINUACIÓN:

PS

PS

Ahora $$x^2=a^{\sin^{-1}t}\implies2\ln x=\ln a(\sin^{-1}t)$

Answer 2

Tenga en cuenta que el dominio debe ser$0 \le t \le \dfrac{\pi}2$

Luego $ \ displaystyle xy = \ sqrt {a ^ {\ arcsin t + \ arccos t}} = a ^ {\ pi / 4} $

Asi que $x\;dy + y\; dx = 0$

$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac yx$

o

$x \dfrac{dy}{dx} + y = 0$

$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac yx$