Encontrar la inversa de un $3\times3$ matriz

Question

Me dan una $3 \times3$ matriz y se me pide que encuentre la inversa utilizando operaciones elementales de fila. Sé cómo funcionan, pero no tengo ni idea de qué pasos hay que aplicar primero, seguidos de qué pasos.

Primero, las matrices:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3\\ 2 & 1 & -3\\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Todo lo que sé hasta ahora es que, si hay una serie de operaciones (pre-multiplicadores)

$E_nE_{n-1}...E_2E_1A$ que se reduce a la matriz identidad, la misma secuencia $ E_nE_{n-1}...E_2E_1I$ se reduce a la inversa de $A$ , $A^{-1}$ .

¿Alguna ayuda? Si no es así, voy a utilizar otro método ya que esto no está funcionando hasta ahora.

ACTUALIZACIÓN

Gracias a la comunidad, obtuve la respuesta final:

$$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\ \frac8 7 & -1 & \frac 3 7\\ \frac{-2}{7} & 0 & \frac 1 7 \end{pmatrix}$$

Answer 1

Me enseñaron a aumentar la matriz con la identidad, y luego aplicar las operaciones de fila:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & -3&0&1&0\\ 2 & 2 & 1&0&0&1 \end{pmatrix}$$

Resta dos veces la fila 1 de la fila 2 y dos veces la fila 1 de la fila 3 (sí, son dos operaciones)

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 3&-2&1&0\\ 0 & 0 & 7&-2&0&1 \end{pmatrix}$$

Multiplica la fila 2 por -1 y la fila 3 por $\frac 17$

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -3&2&-1&0\\ 0 & 0 & 1&-2/7&0&1/7 \end{pmatrix}$$

Resta la fila 2 de la fila 1, luego suma tres veces la tercera a la segunda y ya está. Las tres columnas de la derecha serán su inversa.

Answer 2

Esa forma de calcular las ineversiones (que era muy lenta imo), era escribirla de esta manera:

$$\begin{pmatrix}1 & 1 & -3 & | & 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & -3 & | & 0 & 1 & 0\\ 2 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Diez hacen esas operaciones elementales sobre la primera para reducir a la identidad, mientras hacen las mismas operaciones sobre la derecha. Cuando obtengas la identidad en la izquierda, lo que tendrás en la derecha será la inversa.

Answer 3

$$\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & k\\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix} \, A & \, B & \,C \\ \, D & \, E & \,F \\ \, G & \,H & \, K\\ \end{bmatrix}^T = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix} \, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, K\\ \end{bmatrix}$$ Si el determinante es distinto de cero, la matriz es invertible, con los elementos de la matriz anterior en el lado derecho dados por $$\begin{matrix} A = (ek-fh) & D = (ch-bk) & G = (bf-ce) \\ B = (fg-dk) & E = (ak-cg) & H = (cd-af) \\ C = (dh-eg) & F = (gb-ah) & K = (ae-bd). \\ \end{matrix}$$