Aplicación del pequeño teorema de Fermat

Question

Quiero mostrar esto: $p$ de primera, $p \equiv 2 \bmod 3 \implies t^{3}-a$ reducible en $\mathbf{F}_p[t]$ para todos $a\in \mathbf{F}_{p}$ . Usando el pequeño teorema de Fermat, pero no sé cómo.

Si alguien me lo enseñara, me alegraría mucho.

Answer 1

Vamos a demostrar una afirmación más general:

Si $p$ es un primo y $n$ es relativamente primo de $p-1$ , entonces el mapa $x \mapsto x^{n}$ es una biyección de $\mathbf F_p$ a sí mismo. En otras palabras, cada elemento tiene un único $n^{\text{th}}$ arraigar en $\mathbf F_p$ .

Como corolario simple, todo polinomio de la forma $t^n - a$ es reducible, ya que es divisible por $t-b$ donde $b$ es un $n^{\text{th}}$ raíz de $a$ .

Ahora bien, aunque el lema anterior está planteado para el campo $\mathbf F_p$ es conveniente y más ilustrativo pasar al grupo multiplicativo $\mathbf F_p^{\times}$ La estructura aditiva es irrelevante y es mejor considerar el elemento cero por separado. Como ejercicio, verifique que nuestro primer lema es consecuencia de lo siguiente.

Si $G$ es un grupo finito y $n$ es relativamente primo de $|G|$ entonces el homomorfismo $\varphi : G \to G : x \mapsto x^{n}$ es un automorfismo de $G$ . Es decir, cada elemento de $G$ tiene un único $n^{\text{th}}$ raíz.

Prueba. Desde $G$ es finito, basta con establecer una de las dos inyectividades, pero mostramos ambas por diversión. Necesitamos los dos hechos siguientes:

• $a^{|G|} = 1_G$ para todos $a \in G$ .

• Desde $\gcd(n, |G|)= 1$ por el lema de Bézout, existen enteros $u, v$ tal que $u n + v|G| = 1$ .

Armados con estos datos, estamos preparados para mostrar

• La subjetividad: Dado cualquier $a \in G$ , $$\left( a^{u} \right)^n = a^{un} = a^{un} \cdot a^{v|G|} = a^{un + v |G|} = a,$$ por lo que cada elemento de $G$ es a imagen y semejanza de $\varphi$ .

• Inyectabilidad: Desde $\varphi$ es un homomorfismo, basta con comprobar que su núcleo es trivial. Sea $a \in G$ tal que $a^n = 1_G$ . Entonces $$a = a^{u n + v|G|} = \left(a^{n} \right)^u \cdot a^{v|G|} = 1_G \cdot 1_G = 1_G,$$ y por lo tanto hemos terminado.

Answer 2

Tiene que demostrar que $t^3 - a$ tiene una raíz en $\mathbf F_p$ . Por pequeño Fermat sabemos que $a^p = a$ . Como $p \equiv -1\ \bmod 3$ También sabemos que $3$ divide $p + 1$ . Puedes juntar estos dos datos para encontrar una raíz cúbica $b$ de $a^2$ . Ahora, ¿cuál es el cubo de $a/b$ ?

[Tal vez sea mejor pensarlo así: $\mathbf F_p^*$ es un grupo cíclico de orden $p - 1$ y este orden es coprimo a $3$ . Una vez más Gracias a Srivatsan por corregir un terrible error mío en la versión original].