problemas de integración y simplificación

Question

Tengo esta función:

$$\pi(\theta|\vec{x}) = \frac{2^{-n/2-2}\theta^{-n/2-3}\left(\sum_\limits{i = 1}^{n} x_i^2+4\right)^{n/2+2}\exp\left({-{\left(\sum_\limits{i = 1}^{n} x_i^2 + 4\right)}/{2\theta}}\right)}{\Gamma(n/2 +2)} $$

y estoy tratando de tomar la media de la misma con respecto a $\theta$ .

Esto es lo que hice:

$$E(\theta|\vec{x}) = \int_{0}^{\infty} \theta \, \frac{2^{-n/2-2}\theta^{-n/2-3}\left(\sum_\limits{i = 1}^{n} x_i^2+4\right)^{n/2+2}\exp\left({-{\left(\sum_\limits{i = 1}^{n} x_i^2 + 4\right)}/{2\theta}}\right)}{\Gamma(n/2 +2)} d\theta$$ Utilizando wolfram alpha, la respuesta resultó ser $$=\frac{n (\sum_{i = 1}^{n} x_i^2 + 4)\Gamma(n/2)}{4 \Gamma(n/2+2)}$$

Cuando simplifiqué esto a mano, obtuve:

$$ = \frac{n (\sum_{i = 1}^{n} x_i^2 + 4)\Gamma(n/2)}{4 (n/2+2)(n/2+1)\Gamma(n/2)} = \frac{n (\sum_{i = 1}^{n} x_i^2 + 4)}{(n+4)(n+2)}$$

Sin embargo, wolfram demostró que se trataba de una simplificación: $$= \frac{(\sum_{i = 1}^{n} x_i^2 + 4)}{(n+2)}$$ que no es equivalente a la respuesta original de la integral al introducir los números.

Agradecería cualquier sugerencia sobre dónde pueden estar fallando las cosas. La respuesta que obtuve de la integral y la simplificación manual aparentemente no son correctas.

Answer 1

Recordemos que $$\Gamma\left(x+1\right)=x\Gamma\left(x\right)$$

W \begin{align*} \color{blue}{\frac{n\left(\sum_{i=1}^nx_i^2+4\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{4\Gamma\left(\frac{n}{2}+2\right)}} &=\frac{n\left(\sum_{i=1}^nx_i^2+4\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{4\left(\frac{n}{2}+1\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}\\ &=\frac{n\left(\sum_{i=1}^nx_i^2+4\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{4\left(\frac{n}{2}+1\right)\left(\frac{n}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2+4}{n+2}} \end{align*} de acuerdo con Wolfram Alpha.