La información de que la variable aleatoria en cuestión "es igual a $X$ con probabilidad $1/2$ e igual a $Y$ con probabilidad $1/2$ " no está suficientemente claro, como se indica con el fin de permitirnos proporcionar algunos respuesta definitiva. Prueba con el ejemplo:
1) Supongamos que la variable aleatoria en cuestión, denótese $W$ , se define como:
$$W = \left\{ \begin{array}{lr} X \;\; \text{with probability } \frac{1}{2}\\ Y \;\;\text{with probability } \frac{1}{2} \end{array} \right.\\$$
Esto equivale a definir un rv independiente de Bernoulli $B(p=0.5)$ y establecer
$$W = X\cdot B + Y\cdot (1-B)$$
No es difícil concluir que $W$ también será una variable aleatoria normal estándar, con $E(W) = 0$ .
2) Pero define ahora el rv $Z = \max\{X,Y\}$ . Su función de distribución es
$F_Z(z) = \Phi(z)^2$ y su densidad es $f_Z(z) = 2\phi(z)\Phi(z)$ , donde $\phi(z)$ es la densidad normal estándar, y $\Phi(z)$ la función de distribución normal estándar. Vemos que $Z$ es Distribución normal sesgada de Azzalini con el parámetro de localización $0$ parámetro de escala $1$ y el parámetro de forma (o inclinación) $1$ . Entonces tenemos $E(Z) = \frac 1{\sqrt {\pi}}$ .
Ahora bien, tenga en cuenta que $$P(X > Y) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{y}^{\infty}\phi(y)\phi(x) dxdy = \int_{-\infty}^{\infty}\phi(y)\cdot [1-\Phi(y)]dy$$
$$=1-E[\Phi(Y)] = 1-\frac 12 = \frac 12$$
por el transformación integral de probabilidad .
Así que el evento " $Z$ es igual a $X$ "tiene una probabilidad igual a $1/2$ y el evento " $Z$ es igual a $Y$ " también tiene probabilidad $1/2$ .
Por lo tanto, lo que define $W$ también es válido para $Z$ aunque son variables aleatorias diferentes, y se caracterizan por distribuciones diferentes... pero esto significa que, a nivel verbal, debemos distinguir claramente entre las afirmaciones
$A$ : "Una variable aleatoria se define como siendo igual a $X$ con probabilidad $1/2$ e igual a $Y$ con probabilidad $1/2$ "
y
$B$ : "Una variable aleatoria tiene la propiedad de siendo igual a $X$ con probabilidad $1/2$ y $Y$ con probabilidad $1/2$ ".
Vemos que la información, tal y como se da en la pregunta, es fatalmente vaga, y podría coincidir con la declaración $A$ o a la declaración $B$ .
Si se hubiera dado como declaración $A$ de arriba, sin duda podríamos dar una respuesta. Si se hubiera dado como declaración $B$ anterior, podríamos decir definitivamente que no podemos dar una respuesta definitiva.
Esencialmente, la propiedad en cuestión no es un definición de la propiedad . En la medida en que no estemos seguros de que la propiedad que queremos comunicar conduce efectivamente a una caracterización única, debemos tomarnos la molestia de elegir cualquiera de las dos afirmaciones $A$ o declaración $B$ y evitar la declaración aparentemente transparente que se ofrece en la pregunta.
