Deje que$C$ el cúbico retorcido en$\mathbb{P}^3$ definido como$V(XZ-Y^2, YW-Z^2,XW-YZ)$. Tengo que calcular el polinomio de Hilbert de$C$, que denote$P_C(n)$. Para calcular los polinomios de Hilber en general, considero la secuencia retorcida exacta$$ 0 \to \mathcal{I}_C(n) \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(n) \to \mathcal{O}_C(n) \to 0 .$ $ If$C=V(F)$, donde$deg(F)=m$ uso el isomofismo$\mathcal{I}_C \simeq \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(n-m)$ dado por la multiplicación de$C$. En esta situación, no sé cómo usar de esta manera para calcular el polinomio de Hilbert del cúbico retorcido.
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YequalsX
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Al $n$ es grande, el valor del polinomio de Hilbert es sólo la dimensión de $H^0(C,\mathcal O_C(n) ).$
Por definición, $C$ es una copia de $\mathbb P^1$, incorporado con el grado $3$, y por lo $\mathcal O_C(1)$ es un grado $3$ línea de paquete en la $C$. Por lo tanto $\mathcal O_C(n)$ tiene el grado $3n$, y la dimensión global de las secciones de un grado $3n$ línea de paquete en la $\mathbb P^1$$3n + 1$. (Solo el número de polígonos. en una variable de grado en la mayoría de las $3n$.)
Así Hilbert poli. es igual a $3n + 1$.
En general, un grado de $d$ curva de género $g$ (en cualquier espacio proyectivo) se han Hilbert poli. igual a $d n + 1 - g$.
Sridher
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Como ya he explicado aquí es una manera de encontrar primero la función de Hilbert $h_C(d)$ y ver lo que el polinomio es al $d \gg 0.$
Deje $H=\{w=0\} \subset \mathbb{P}^3$ y considerar la posibilidad de $X=C \cap H=V(w,xz-y^2,z^2,yz).$, a Continuación, la homogeneidad de las coordenadas anillo de $X$ es (isomorfo a) $S(X)=k[x,y,z]/(xz-y^2,z^2,yz).$
Ejercicio: Demostrar que su grado $d$ parte $S(X)^{(d)},$ es generado por $x^d,x^{d-1}y, x^{d-1}z$ como un espacio vectorial sobre $k,$ y a la conclusión de que $h_X(d)=\dim_k S(X)^{(d)}=3,$ $p_X(d)=3.$
Ahora la pregunta es, ¿cómo se relacionan $C$ $X?$
La respuesta es la siguiente SES
$$0\longrightarrow k[x,y,z,w]/I \stackrel{.w}{\longrightarrow} k[x,y,z,w]/I \longrightarrow k[x,y,z,w]/(I+(w)) \longrightarrow 0$$
donde $I=(y^2-xz,z^2-yw,xw-yz).$ (Que sería fácil para ejecutar el cohomological enfoque si se quiere, el uso de este SES.)
Tomar la $d$ clasificados piezas de la SES para obtener $h_C(d)=h_C(d-1)+h_X(d)$ y tenga en cuenta que $h_C(0)=1,$ desde $S(C)^{(0)}=k.$ Finalmente, demostrar que $h_C(d)=3d+1$ que es un polinomio, por lo $p_C(d)=3d+1.$
En general, el grado del polinomio de Hilbert de un proyectiva subscheme $X$ $\mathbb{P}^n$ coincide con la dimensión de $X$, por lo que no debería ser ninguna sorpresa que la razón por la que en este caso es un polinomio de grado uno.
Por otra parte, el grado de $X$ se define a ser$(\dim X)! \times \text{leading coefficient of} \; p_X(d),$, que en nuestro caso es $3.$
