Cómo encontrar $\angle$ b?

Question

Cómo encontrar $\angle$ b ?

Los vértices del triángulo están en los focos de la elipse y en la elipse.

$\angle$ a, el eje mayor y la excentricidad son conocidos.

Answer 1

Sea el eje mayor de longitud = $2a$ , y el menor sea de $2b$ entonces sabemos que $$b^2=a^2(1-e^2)$$ Los focos vienen dados por $P(ae,0)$ , $Q(-ae,0)$ Sea el punto que no está en el vértice $R(a\cos \theta,b\sin \theta)$ Y tomo los ángulos RQP y RPQ como $\alpha$ y $\beta$ para evitar confusiones.

Ahora sabemos que $$PQ=RQ \cos \alpha+RP \cos \beta$$ RQ y RP pueden evaluarse mediante la fórmula de la distancia, obtenemos $$RP=|a-ae\cos \theta| , RQ=|a+ae\cos \theta|$$ Así que ahora dices que conoces el ángulo $a$ (es decir $\alpha$ ), también hay que tener en cuenta que $a\cos \theta$ representa la coordenada x del punto R (no en el Foco) ahora tenemos los tres lados del triángulo PQR, aplicando la ley del seno en el triángulo PQR, obtenemos

$$\frac{\sin \alpha}{RP}=\frac{\sin \beta}{RQ}$$ $$\implies \frac{\sin \alpha}{|a-ae\cos \theta|}=\frac{\sin \beta}{|a+ae\cos \theta|}$$ Ahora el punto R también es desconocido para nosotros, podemos encontrarlo considerando la intersección de la línea QR con nuestra elipse, es decir, R será el punto de intersección de: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ y $$y=\tan\alpha (x+ae)$$ Resolviendo esto, se obtendrían las coordenadas de R. Como sólo necesitamos la coordenada x, podemos ponerla como $a\cos \theta$ y luego encontrar el ángulo $\beta$ por la ley del seno en el triángulo PQR

Editar : RP y RQ fijos

Answer 2

Dejemos que $\alpha, \beta$ sean los ángulos, $2a>0$ la longitud del eje mayor, $P = (-ae, 0)$ , $Q = (ae, 0)$ los focos, y $R = (x,y)$ el punto de la elipse. Para simplificar, asumo que $-ae < x < ae$ y $y >0$ ya que los cálculos son análogos en otros casos.

Tenga en cuenta que $x,y$ son tales que \begin{align} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{(1-e^2)a^2} = 1 \end{align} y \begin{align*} y = \tan \alpha (x+ae). \end{align*}

Tenemos \begin{align*} \tan \beta = \frac{y}{ae - x} = \frac{ae + x}{ae - x}\tan \alpha. \end{align*}

Dejemos que $t = (ae+x)/(ae-x)$ para que $x = ae(t-1)/(t+1)$ y $y = ae\tan \alpha (2t)/(t+1)$ . Entonces la ecuación de la elipse para $t$ es \begin{align*} e^2\frac{(t-1)^2}{(t+1)^2} + 4\tan^2 \alpha \frac{e^2}{1-e^2}\frac{t^2}{(1+t)^2} = 1. \end{align*}

Si mis cálculos son correctos, de esto se obtiene \begin{align*} t = \frac{1-e^2}{4e^2\tan^2 \alpha - (1-e^2)^2}\left ( 1 + e^2 + \frac{2e}{\cos \alpha} \right ). \end{align*}

Esta vez $\tan \alpha$ da $\tan \beta$ . Por supuesto, el valor de $\alpha$ tal que $2e\tan \alpha = 1-e^2$ es aquella para la que $x = ae$ ya que $t \to \infty$ da $x \to ae$ . Tenga en cuenta también que para $\tan^2 \alpha = (1-e^2)/e^2$ es decir, cuando $R = (0, b)$ la expresión se simplifica a $t = 1$ como era de esperar.

Lamentablemente no puedo escribir la solución de mejor forma que esta... ¡Espero que pueda ayudar de todos modos!