Deje $f \in \mathbb{Z}[x]$ ser un polinomio de grado $n$ con coeficientes enteros y deje $G_f$ ser el grupo de Galois de $f$$\mathbb{Q}$.
Estoy tratando de recopilar resultados de transmitir cierta información sobre $G_f$ que sólo involucra a los coeficientes de $f$ en semialgebraic condiciones. Permítanme explicar lo que quiero decir por dar a los pocos resultados que he encontrado.
Ejemplo 1
Cuando se trata de determinar $G_f$, la primera cosa a comprobar es si $f$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ ya que esto ocurre si y sólo si $G_f$ es transitiva. Sin embargo, la condición de "$f$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$" no es un semialgebraic condición de los coeficientes de $f$. Hay muchos métodos populares para demostrar que un polinomio es irreducible, incluyendo el criterio de Eisenstein (un caso especial de Dumas del criterio, que utiliza diagramas de Newton, consulte la Sección 2.2.1 de Polinomios), irreductibilidad $\mathbb{F}_p$ para algunos prime $p$, y Pólya-criterios de tipo (véase también la Sección 2.2.2 de Polinomios). Sin embargo, estos criterios no son todavía semialgebraic condiciones de los coeficientes de $f$.
En su lugar, una irreductibilidad criterio de que sólo involucra a los coeficientes en una semialgebraic expresión es Perron del criterio:
Deje $f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i$ ser un polinomio con coeficientes enteros tales que $a_n = 1$$a_0 \ne 0$.
a) Si $|a_{n-1}| > 1 + |a_{n-2}| + \dotsb + a_0$, entonces f es irreducible.
b) Si $|a_{n-1}| \ge 1 + |a_{n-2}| + \dotsb + a_0$$f(\pm 1) \ne 0$, entonces f es irreducible.
Los únicos otros resultados de este tipo que yo conozco son por Brauer (Teorema 2.2.6 en Polinomios o resultados en la Irreductibilidad de Polinomios con Grandes Tercer Coeficiente).
Ejemplo 2
El método de resolvents para grupos de Galois parece bastante fuerte para mí. Si he entendido correctamente, para cada subgrupo de $H \le S_n$, existe un polinomio $\varphi_H$ tal que $G_f \le H$ si y sólo si $\operatorname{Res}(f,\varphi_H)$ contiene una raíz racional. El ejemplo más simple de esto es cuando $H = A_n$ es la alternancia de grupo, en cuyo caso $\varphi_H = f'$ es el derivado de la $f$ $\operatorname{Res}(f,\varphi_H) = x^2 - \Delta(f)$ donde $\Delta(f)$ es el discriminante de $f$. Una vez más, la condición de que algunas polinomio (o no) contener una raíz racional no es una semialgebraic condición de las raíces de $f$.
Para este caso más simple de Galois resolvent, es fácil obtener el tipo de resultados que estoy buscando.
Si $\Delta(f) < 0$,$G_f \not\le A_n$.
En este caso (como en el más fuerte iff), hay un número impar de nonreal complejo conjugado de a pares, por lo que el grupo de Galois contiene una permutación impar de orden 2, es decir, el complejo de la conjugación.
Pregunta
Explícitamente mi pregunta:
¿Qué otros resultados se sabe que transmiten información sobre el grupo de Galois de $f$, pero sólo involucra a los coeficientes de $f$ en semialgebraic condiciones?
