Asumir que $L/K$ es una extensión de campos y $[L:K]=n$, $n$ compuesto. Asumir que $p\mid n$, podemos siempre producir un subextension de grado $p$ y si no en qué condiciones puede hacerse? Supongo que esto es muy falso, pero no pude subir con cualquier triviales contraejemplos.
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Nir
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Usted está en lo correcto al escribir "me imagino que esto es muy falso": aquí es una declaración precisa.
La proposición 1
Para cualquier $n\gt 1$ existe un campo de extensión de la $\mathbb Q\subset K$ grado $[K:\mathbb Q]=n \:$ sin intermedio de extensión de la $\mathbb Q \subsetneq k\subsetneq K$.
Prueba
Deje $\mathbb Q \subset L$ ser una extensión de Galois con grupo de Galois $S_n$, la permutación grupo de $n$ elementos .
El Galois correspondencia asociados para el subgrupo $S_{n-1}\subset S_n$ extensión $\mathbb Q \subset K$. El intermedio campos de $\mathbb Q \subsetneq k\subsetneq K$ bijectively corresponden (por la teoría de Galois de nuevo)
a intermedio subgrupos $S_{n-1}\subsetneq G\subsetneq S_n$. Sin embargo es un ejercicio fácil en teoría de grupos muestra que no existe el grupo y por lo tanto no hay intermedio campo $k$ existe.
Un problema análogo
Es bien conocido que los números construibles $c\in \mathbb C$ (aquellos que pueden ser construidos por la regla y el compás) tienen un grado de una potencia de dos: $[\mathbb Q(c):\mathbb Q]=2^r$ . Sin embargo, el recíproco es falso :
Proposición 2
Para cada $n=2^r\geq 4$ no existe no edificable número $c\in \mathbb C$ que no es edificable, incluso a pesar de que tiene un grado $n=2^r$.
Prueba
Tomar un polinomio irreducible $P(X)\in \mathbb Q[X]$ cuyo grupo de Galois es $S_n$. Me dicen que uno de sus raíces $c $ es la necesaria nonconstructible número de grados $n$.
Otra de sus raíces $c_1, ...,c_n$ sería edificable y todos los números de su división de campo de $K=\mathbb Q(c_1,...,c_n)$ sería edificable (el edificable números forman un campo).
Pero esto es contradictorio porque un elemento primitivo $c_0$ $K$ ( $K=\mathbb Q(c_0$ )), también tienen algún grado de poder de $2$, mientras que su grado es en realidad $n!$, un número divisible por $3$ desde $n\geq 4$.
Bibliografía
La existencia de polinomios sobre $\mathbb Q$ con grupo de Galois $S_n$ es demostrado por ejemplo en Dummit-Foote del álgebra Abstracta, el Capítulo 14, la Proposición 42.
Sabemos que las ecuaciones de grado 2 y 3 tienen soluciones radicales, pero la mayoría de las ecuaciones de grado 6 (o cualquier grado 5 o mayor) no. Así que vamos a $f$ ser un polinomio sobre $K$ de grado 6 no tienen solución en los radicales, vamos a $\alpha$ ser una raíz de $f$ en algunos de extensión, vamos a $L=K(\alpha)$. Si hubo un intermedio de campo $E$ de grado 2 o 3, entonces usted podría expresar $\alpha$ en los radicales $E$, y a los radicales en los radicales $K$, contradiciendo la suposición de que no se podía solucionar $f$ en los radicales $K$.
Emilio
Puntos
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Supongamos $L/K$ es de Galois con grupo de $G$. Luego subextensions de grado $m$ $K$ corresponden a los subgrupos normales de $G$ de índice de $m$. Dado un grupo abelian siempre se puede encontrar subgrupos de orden $p$ donde $p$ es un divisor primo de $\vert G \vert =n$. Así que para encontrar un contraejemplo, usted debe (con $L/K$ Galois) iniciar con los no-abelian grupos de Galois. Estoy bastante seguro de que existe un grupo de orden $n$ que no tiene un subgrupo normal de índice $m$ todos los $m\vert n$. (Tenga en cuenta que si $m$ es primo, un (no necesariamente normal) subgrupo existe).
