Familia de subconjuntos casi disjuntos de $\mathbb{R}_+$ (donde la no-disociación está acotada)

Question

Sea $\mathbb{R}_+ = [0, \infty)$ . Busco una familia $\mathcal{U}$ de $2^\mathfrak{c}$ subconjuntos de $\mathbb{R}_+$ tal que cualquier miembro de $\mathcal{U}$ no tiene límite en $\mathbb{R}_+$ pero la intersección de dos miembros cualesquiera de $\mathcal{U}$ está limitada. ¿Existe tal familia?

También estaría bien que todos los miembros $X$ de $\mathcal{U}$ satisfecho $|X \cap [n, \infty)| = \mathfrak{c}$ para todo natural $n$ .

La idea detrás del problema es que obviamente no puedo tener $2^\mathfrak{c}$ subconjuntos disjuntos de $\mathbb{R}_+$ pero quiero que la no-disociación se empaquete en un segmento acotado. Parece que debería ser posible, ya que un segmento acotado de $\mathbb{R}_+$ no parece muy diferente de un segmento no limitado, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos.

Answer 1

Sea $\mathcal S$ sea el conjunto de todos los subconjuntos contables ilimitados de $[0,\infty).$

Si cada miembro de $\mathcal U$ es ilimitado, entonces cada miembro de $\mathcal U$ contiene un conjunto contable no limitado, por lo que existe una función $f:\mathcal U\to\mathcal S$ tal que $f(X)\subseteq X$ para todos $X\in\mathcal U.$

Si las intersecciones por pares de $\mathcal U$ están acotadas, entonces $f$ es inyectiva y $|\mathcal U|\le|\mathcal S|=\mathfrak c.$