¿Estas secuencias convergen al mismo límite?

Question

Estoy tratando de probar esta pregunta. A la primera abuela parece fácil:

Dado$a,b\in \mathbb R^+$, defina las secuencias$(x_n)$ y$(y_n)$ como$x_1=\sqrt {ab}$,$y_1=\frac{a+b}{2}$ y$x_{n+1}=\sqrt{x_n y_n}$,$y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}$. Demuestre que$(x_n)$ y$(y_n)$ convergen al mismo límite.

Mi acercamiento:

construye estas ecuaciones:

$\lim x_n=\sqrt{(\lim x_n)(\lim y_n)}$ y$\lim y_n=\frac {\lim x_n +\lim y_n}{2}$ y luego por el primero podemos tener$\lim x_n=\lim y_n$

Creo que no es tan fácil, pero ¿en qué me equivoco?

Muchas gracias

Answer 1

Insinuación:

$x_n,y_n>0$$\forall$$n\in\mathbb N\implies x_{n}\leq y_{n}$$\forall$$n\in\mathbb N$%% desde AM$[$ GM para números positivos$\geq$

$]$$y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}\leq y_n,x_{n+1}=\sqrt{x_ny_n}\geq x_n$$\forall$

$n\in\mathbb N$